曲線 $y = x + \frac{1}{x}$ の概形を描け。

1. 問題の内容

曲線 $y = x + \frac{1}{x}$ の概形を描け。

2. 解き方の手順

(1) 定義域を確認する。

(2) 漸近線を求める。

(3) 増減を調べる (導関数を計算する)。

(4) グラフを描く。

詳細な手順は以下の通りです。

(1) 定義域:

$x \neq 0$ であるから、定義域は $x < 0$ または $x > 0$。

(2) 漸近線:

* $x \to \pm \infty$ のとき、$y \to x$ となる。したがって、$y=x$ は漸近線である。

* $x \to 0$ のとき、$y \to \pm \infty$ となる。したがって、$x=0$ (y軸) は漸近線である。

(3) 増減:

導関数を計算する。

$y' = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}$

$y' = 0$ となるのは $x = \pm 1$ のとき。

増減表は以下のようになる。

| x | ... | -1 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

| :----- | :---- | :--- | :---- | :--- | :---- | :--- | :---- |

| y' | + | 0 | - | | - | 0 | + |

| y | ↑ | -2 | ↓ | | ↓ | 2 | ↑ |

(4) グラフ:

* 極大値：$x=-1$ のとき $y=-2$。

* 極小値：$x=1$ のとき $y=2$。

* 漸近線：$y=x$ と $x=0$ (y軸)。

これらをもとにグラフを描く。

3. 最終的な答え

曲線 $y = x + \frac{1}{x}$ の概形は、

* 定義域は $x \neq 0$

* 漸近線は $y=x$ と $x=0$

* 極大値は $(-1, -2)$

* 極小値は $(1, 2)$

となるグラフです。