与えられた関数 $f(x)$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f(x)$ が $x=0$ で微分可能であることを示し、$f'(0)$ を求める。 (2) $x_n = \frac{2}{\pi(2n-1)}$ ($n = 1, 2, \dots$) とするとき、$f(x_n)$ を求める。 (3) $f(x_{2m+1}) > f(x_{2m})$ ($m = 1, 2, \dots$) を示す。 (4) どのような $\delta > 0$ をとっても $f(x)$ は $(0, \delta)$ では単調増加ではないことを示す。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $f(x)$ が $x=0$ で微分可能であることを示し、$f'(0)$ を求める。

(2) $x_n = \frac{2}{\pi(2n-1)}$ ($n = 1, 2, \dots$) とするとき、$f(x_n)$ を求める。

(3) $f(x_{2m+1}) > f(x_{2m})$ ($m = 1, 2, \dots$) を示す。

(4) どのような $\delta > 0$ をとっても $f(x)$ は $(0, \delta)$ では単調増加ではないことを示す。

2. 解き方の手順

(1) $x=0$ での微分可能性を示すためには、微分の定義に従って極限を計算します。

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$

$f(0) = 0$ なので、

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{2} + h^2 \sin(\frac{1}{h})}{h} = \lim_{h \to 0} (\frac{1}{2} + h \sin(\frac{1}{h}))$

$-1 \leq \sin(\frac{1}{h}) \leq 1$ より、$-|h| \leq h \sin(\frac{1}{h}) \leq |h|$ であるから、$\lim_{h \to 0} h \sin(\frac{1}{h}) = 0$ となります。

したがって、$f'(0) = \frac{1}{2}$ であり、$f(x)$ は $x=0$ で微分可能です。

(2) $x_n = \frac{2}{\pi(2n-1)}$ を $f(x)$ に代入します。$x_n \neq 0$ なので、

$f(x_n) = \frac{x_n}{2} + x_n^2 \sin(\frac{1}{x_n})$

$\frac{1}{x_n} = \frac{\pi(2n-1)}{2}$ なので、

$\sin(\frac{1}{x_n}) = \sin(\frac{\pi(2n-1)}{2})$

$n$が整数のとき、

$2n-1$は常に奇数なので、$\sin(\frac{\pi(2n-1)}{2})$は常に$(-1)^{n-1}$です。

したがって、$f(x_n) = \frac{1}{\pi(2n-1)} + \frac{4}{\pi^2(2n-1)^2} (-1)^{n-1}$

(3) $f(x_{2m+1}) > f(x_{2m})$ を示すためには、$f(x_{2m+1}) - f(x_{2m}) > 0$ を示します。

$f(x_{2m+1}) = \frac{1}{\pi(4m+1)} + \frac{4}{\pi^2(4m+1)^2}$

$f(x_{2m}) = \frac{1}{\pi(4m-1)} - \frac{4}{\pi^2(4m-1)^2}$

$f(x_{2m+1}) - f(x_{2m}) = \frac{1}{\pi(4m+1)} - \frac{1}{\pi(4m-1)} + \frac{4}{\pi^2(4m+1)^2} + \frac{4}{\pi^2(4m-1)^2}$

$= \frac{(4m-1) - (4m+1)}{\pi(4m+1)(4m-1)} + \frac{4}{\pi^2}(\frac{1}{(4m+1)^2} + \frac{1}{(4m-1)^2})$

$= \frac{-2}{\pi(16m^2 - 1)} + \frac{4}{\pi^2} \frac{(4m-1)^2 + (4m+1)^2}{(16m^2 - 1)^2}$

$= \frac{-2}{\pi(16m^2 - 1)} + \frac{4}{\pi^2} \frac{32m^2 + 2}{(16m^2 - 1)^2}$

$= \frac{-2\pi(16m^2 - 1) + 4(32m^2 + 2)}{\pi^2(16m^2 - 1)^2}$

$= \frac{(-32\pi + 128)m^2 + 2\pi + 8}{\pi^2(16m^2 - 1)^2}$

$\pi < 4$ より、 $-32\pi + 128 > 0$ であり、$2\pi + 8 > 0$ なので、$f(x_{2m+1}) - f(x_{2m}) > 0$ が成立します。

(4) $f(x)$ が $(0, \delta)$ で単調増加ではないことを示すためには、$f'(x) < 0$ となる $x$ が $(0, \delta)$ に存在することを示します。

$f'(x) = \frac{1}{2} + 2x \sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x})$

$x = \frac{1}{2n\pi}$ とすると、$\sin(\frac{1}{x}) = 0$、$\cos(\frac{1}{x}) = 1$ なので、

$f'(x) = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} < 0$

したがって、どのような $\delta > 0$ をとっても、十分大きな $n$ に対して $x = \frac{1}{2n\pi}$ が $(0, \delta)$ に含まれるので、$f(x)$ は $(0, \delta)$ で単調増加ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $f'(0) = \frac{1}{2}$

(2) $f(x_n) = \frac{1}{\pi(2n-1)} + \frac{4(-1)^{n-1}}{\pi^2(2n-1)^2}$

(3) 証明完了

(4) 証明完了