$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く問題です。 $\sin{2\theta} = \cos{2\theta} + \sqrt{2}$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く問題です。

$\sin{2\theta} = \cos{2\theta} + \sqrt{2}$

2. 解き方の手順

与えられた方程式を、三角関数の合成を用いて解きます。

まず、与えられた方程式を以下のように変形します。

$\sin{2\theta} - \cos{2\theta} = \sqrt{2}$

次に、左辺を合成します。

$\sqrt{2} \sin(2\theta - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$

両辺を$\sqrt{2}$で割ります。

$\sin(2\theta - \frac{\pi}{4}) = 1$

ここで、$2\theta - \frac{\pi}{4} = X$とおくと、$\sin{X}=1$ となります。

$0 \le \theta < 2\pi$より、$0 \le 2\theta < 4\pi$ であるため、$-\frac{\pi}{4} \le 2\theta - \frac{\pi}{4} < 4\pi - \frac{\pi}{4}$、すなわち $-\frac{\pi}{4} \le X < \frac{15\pi}{4}$です。

$\sin{X}=1$となる$X$の値は、

$X = \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$

$2\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

$2\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

$\theta = \frac{3\pi}{8}$

$2\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{2}$

$2\theta = \frac{5\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{4}$

$\theta = \frac{11\pi}{8}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{3\pi}{8}, \frac{11\pi}{8}$