(1) 関数 $y = f(x) = \log(1+x)$ の $x=0$ でのテイラー展開を求める。有効範囲は気にしなくて良い。ヒントとして、$n=1, 2, 3, ...$ に対し、$n$階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求めることが示されている。 (2) 極限 $L = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+2x^2) - 2x^2 + 2x^4}{e^{-x^3} - 1 + x^3}$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = f(x) = \log(1+x)$ の $x=0$ でのテイラー展開を求める。有効範囲は気にしなくて良い。ヒントとして、$n=1, 2, 3, ...$ に対し、$n$階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求めることが示されている。

(2) 極限 $L = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+2x^2) - 2x^2 + 2x^4}{e^{-x^3} - 1 + x^3}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \log(1+x)$ のテイラー展開を求める。

まず、$n$階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める。

$f(x) = \log(1+x)$

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$

$f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$

$f^{(4)}(x) = -\frac{6}{(1+x)^4}$

一般に、$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{(1+x)^n}$ (for $n \ge 1$)

$x=0$ での値を計算する。

$f(0) = \log(1+0) = 0$

$f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$

$f''(0) = -\frac{1}{(1+0)^2} = -1$

$f'''(0) = \frac{2}{(1+0)^3} = 2$

$f^{(4)}(0) = -\frac{6}{(1+0)^4} = -6$

一般に、$f^{(n)}(0) = (-1)^{n-1} (n-1)!$ (for $n \ge 1$)

したがって、テイラー展開は次のようになる。

$f(x) = f(0) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = 0 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{n!} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n$

$f(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...$

(2) 極限 $L = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+2x^2) - 2x^2 + 2x^4}{e^{-x^3} - 1 + x^3}$ を求める。

$\log(1+2x^2)$ のテイラー展開を求める。

$\log(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \frac{u^4}{4} + ...$

$u = 2x^2$ を代入すると、

$\log(1+2x^2) = 2x^2 - \frac{(2x^2)^2}{2} + \frac{(2x^2)^3}{3} - \frac{(2x^2)^4}{4} + ... = 2x^2 - 2x^4 + \frac{8x^6}{3} - \frac{16x^8}{4} + ...$

したがって、

$\log(1+2x^2) - 2x^2 + 2x^4 = \frac{8x^6}{3} - 4x^8 + ...$

$e^{-x^3}$ のテイラー展開を求める。

$e^v = 1 + v + \frac{v^2}{2!} + \frac{v^3}{3!} + ...$

$v = -x^3$ を代入すると、

$e^{-x^3} = 1 - x^3 + \frac{x^6}{2!} - \frac{x^9}{3!} + ...$

したがって、

$e^{-x^3} - 1 + x^3 = \frac{x^6}{2} - \frac{x^9}{6} + ...$

$L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{8x^6}{3} - 4x^8 + ...}{\frac{x^6}{2} - \frac{x^9}{6} + ...} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{8}{3} - 4x^2 + ...}{\frac{1}{2} - \frac{x^3}{6} + ...} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...$

(2) $L = \frac{16}{3}$