$f(x)$ と $g(x)$ は $x$ の整式であり、次の条件を満たすとき、$f(x)$ と $g(x)$ を求めます。 $$f(x) = x \int_{0}^{1} g(t) dt + \int_{-1}^{1} g(t) dt + 1$$ $$g(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$$

1. 問題の内容

$f(x)$ と $g(x)$ は $x$ の整式であり、次の条件を満たすとき、$f(x)$ と $g(x)$ を求めます。

$$f(x) = x \int_{0}^{1} g(t) dt + \int_{-1}^{1} g(t) dt + 1$$

$$g(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$$

2. 解き方の手順

まず、$a = \int_{0}^{1} g(t) dt$ と $b = \int_{-1}^{1} g(t) dt$ とおきます。

すると、$f(x)$ は次のように表されます。

$$f(x) = ax + b + 1$$

次に、$g(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$ を計算します。

$$g(x) = \int_{0}^{x} (at + b + 1) dt = \left[ \frac{1}{2} a t^2 + (b+1)t \right]_0^x = \frac{1}{2} ax^2 + (b+1)x$$

次に、$a = \int_{0}^{1} g(t) dt$ と $b = \int_{-1}^{1} g(t) dt$ に、$g(x)$ を代入して $a$ と $b$ を求めます。

$$a = \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{2} a t^2 + (b+1)t \right) dt = \left[ \frac{1}{6} a t^3 + \frac{1}{2} (b+1)t^2 \right]_0^1 = \frac{1}{6} a + \frac{1}{2} (b+1)$$

$$a = \frac{1}{6} a + \frac{1}{2} b + \frac{1}{2}$$

$$\frac{5}{6} a = \frac{1}{2} b + \frac{1}{2}$$

$$5a = 3b + 3$$

$$b = \int_{-1}^{1} \left( \frac{1}{2} a t^2 + (b+1)t \right) dt = \left[ \frac{1}{6} a t^3 + \frac{1}{2} (b+1) t^2 \right]_{-1}^{1} = \left( \frac{1}{6} a + \frac{1}{2} (b+1) \right) - \left( -\frac{1}{6} a + \frac{1}{2} (b+1) \right) = \frac{1}{3} a$$

$$b = \frac{1}{3} a$$

これを $5a = 3b + 3$ に代入します。

$$5a = 3 \left( \frac{1}{3} a \right) + 3$$

$$5a = a + 3$$

$$4a = 3$$

$$a = \frac{3}{4}$$

$$b = \frac{1}{3} a = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$

したがって、

$$f(x) = \frac{3}{4} x + \frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4} x + \frac{5}{4}$$

$$g(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} x^2 + \left( \frac{1}{4} + 1 \right) x = \frac{3}{8} x^2 + \frac{5}{4} x$$

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{3}{4} x + \frac{5}{4}$

$g(x) = \frac{3}{8} x^2 + \frac{5}{4} x$