関数 $y = \frac{1}{\sqrt{\ln(x^2+1)}}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{\sqrt{\ln(x^2+1)}}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $y = (\ln(x^2+1))^{-\frac{1}{2}}$ と書き換えます。

次に、合成関数の微分を行います。

ステップ1：外側の関数 $u^{-\frac{1}{2}}$ の微分

$u = \ln(x^2+1)$ とすると、$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2}(\ln(x^2+1))^{-\frac{3}{2}}$となります。

ステップ2：内側の関数 $\ln(x^2+1)$ の微分

$v = x^2+1$ とすると、$u = \ln v$ なので、$\frac{du}{dv} = \frac{1}{v} = \frac{1}{x^2+1}$となります。

ステップ3：最も内側の関数 $x^2+1$ の微分

$\frac{dv}{dx} = 2x$ となります。

ステップ4：連鎖律を適用して導関数を求める

連鎖律より、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$ なので、

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}(\ln(x^2+1))^{-\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x$$

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{(x^2+1)(\ln(x^2+1))^{\frac{3}{2}}}$$

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{(x^2+1)\sqrt{(\ln(x^2+1))^3}}$$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{x}{(x^2+1)\sqrt{(\ln(x^2+1))^3}}$