(1) $m$ と $n$ を自然数とする。 (i) 以下の命題の否定命題を作れ。 (a) $m, n$ の少なくとも一方は4の倍数である。 (b) $m+3$ は4の倍数である、または $mn$ は8以上である。 (ii) (i)(b)の否定命題が成り立つような組 $(m, n)$ をすべて求めよ。 (2) 次の写像 $f$ が単射であるか、また全射であるかを判定せよ。 (i) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 4x$ (ii) $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, n \mapsto$ ($n$ を10進数で表記したときの桁数)

1. 問題の内容

(1) $m$ と $n$ を自然数とする。

(i) 以下の命題の否定命題を作れ。

(a) $m, n$ の少なくとも一方は4の倍数である。

(b) $m+3$ は4の倍数である、または $mn$ は8以上である。

(ii) (i)(b)の否定命題が成り立つような組 $(m, n)$ をすべて求めよ。

(2) 次の写像 $f$ が単射であるか、また全射であるかを判定せよ。

(i) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 4x$

(ii) $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, n \mapsto$ ($n$ を10進数で表記したときの桁数)

2. 解き方の手順

(1)(i)(a) の否定:

「$m, n$ の少なくとも一方は4の倍数である」の否定は「$m$ も $n$ も4の倍数ではない」となる。

(1)(i)(b) の否定:

「$m+3$ は4の倍数である、または $mn$ は8以上である」の否定は、「$m+3$ は4の倍数ではなく、かつ $mn$ は8より小さい」となる。

(1)(ii)

(i)(b)の否定命題は「$m+3$ は4の倍数ではなく、かつ $mn<8$」である。

$m, n$ は自然数なので、$mn$ の取りうる値は $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ である。

$m, n$ の組み合わせを考えると、

$(m, n) = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (7, 1)$

これらのうち、$m+3$ が4の倍数でないものを探す。

$m+3$ が4の倍数となるのは、$m=1, 5$ のとき。つまり、$m+3$が4の倍数とならないのは $m \neq 1, 5$ のとき。

$(m,n) = (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (6, 1), (7, 1)$

(2)(i)

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 4x$

単射:

$f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow 4x_1 = 4x_2 \Rightarrow x_1 = x_2$ となるので単射である。

全射:

任意の $y \in \mathbb{R}$ に対して、$x = y/4 \in \mathbb{R}$ とすれば、$f(x) = 4(y/4) = y$ となるので全射である。

(2)(ii)

$f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, n \mapsto$ ($n$ を10進数で表記したときの桁数)

単射:

$f(10) = 2, f(11) = 2$ より、単射ではない。

全射:

任意の $k \in \mathbb{N}$ に対して、$n = 10^{k-1}$ とすれば、$f(n) = k$ となるので全射である。

3. 最終的な答え

(1)(i)(a) の否定: $m$ も $n$ も4の倍数ではない。

(1)(i)(b) の否定: $m+3$ は4の倍数ではなく、かつ $mn<8$

(1)(ii): $(m, n) = (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (6, 1), (7, 1)$

(2)(i): 単射であり、全射である。

(2)(ii): 単射ではなく、全射である。