不定積分 $\int \frac{x}{(x^2+4)^2} dx$ を、積分変数の置換を用いて計算する。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{x}{(x^2+4)^2} dx$ を、積分変数の置換を用いて計算する。

2. 解き方の手順

置換積分を行うために、$u = x^2 + 4$ と置く。

すると、$\frac{du}{dx} = 2x$ となり、$dx = \frac{du}{2x}$ となる。

この置換を元の積分に適用すると、

$\int \frac{x}{(x^2+4)^2} dx = \int \frac{x}{u^2} \frac{du}{2x} = \int \frac{1}{2u^2} du = \frac{1}{2} \int u^{-2} du$

ここで、$\int u^{-2} du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{u} + C$ である。

したがって、

$\frac{1}{2} \int u^{-2} du = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{u} \right) + C = -\frac{1}{2u} + C$

最後に、$u = x^2 + 4$ を代入すると、

$-\frac{1}{2u} + C = -\frac{1}{2(x^2 + 4)} + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{x}{(x^2+4)^2} dx = -\frac{1}{2(x^2+4)} + C$