与えられた関数 $f(x) = x^2$ について、指定された点における微分係数を、微分の定義に従って求めます。 (1) $x=2$ における微分係数 (2) $x=-1$ における微分係数

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = x^2$ について、指定された点における微分係数を、微分の定義に従って求めます。

(1) $x=2$ における微分係数

(2) $x=-1$ における微分係数

2. 解き方の手順

微分の定義は以下の通りです。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

(1) $f(x) = x^2$ 、 $a = 2$ の場合

$f(2+h) = (2+h)^2 = 4 + 4h + h^2$

$f(2) = 2^2 = 4$

したがって、

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(4 + 4h + h^2) - 4}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (4 + h) = 4$

(2) $f(x) = x^2$ 、 $a = -1$ の場合

$f(-1+h) = (-1+h)^2 = 1 - 2h + h^2$

$f(-1) = (-1)^2 = 1$

したがって、

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{(1 - 2h + h^2) - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-2h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (-2 + h) = -2$

3. 最終的な答え

(1) $x=2$ における微分係数: 4

(2) $x=-1$ における微分係数: -2