次の和を求めよ。 $\frac{1}{1 \cdot 7} + \frac{1}{4 \cdot 10} + \frac{1}{7 \cdot 13} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+4)}$

1. 問題の内容

次の和を求めよ。

$\frac{1}{1 \cdot 7} + \frac{1}{4 \cdot 10} + \frac{1}{7 \cdot 13} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+4)}$

2. 解き方の手順

この和は、各項が部分分数分解できる数列の和です。一般項は $\frac{1}{(3n-2)(3n+4)}$ で表されます。部分分数分解を行うと以下のようになります。

$\frac{1}{(3n-2)(3n+4)} = \frac{A}{3n-2} + \frac{B}{3n+4}$

両辺に $(3n-2)(3n+4)$ をかけると、

$1 = A(3n+4) + B(3n-2)$

$1 = (3A+3B)n + (4A-2B)$

この等式がすべての $n$ に対して成り立つためには、

$3A+3B = 0$ かつ $4A-2B = 1$

最初の式から $A = -B$ が得られます。

これを二番目の式に代入すると、 $4A + 2A = 1$ となり、$6A = 1$ 、つまり $A = \frac{1}{6}$ となります。

したがって、$B = -\frac{1}{6}$ です。

したがって、一般項は

$\frac{1}{(3n-2)(3n+4)} = \frac{1}{6} \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+4} \right)$

と表せます。

この和を $S_n$ とすると、

$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(3k-2)(3k+4)} = \frac{1}{6} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+4} \right)$

$= \frac{1}{6} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{10} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{13} \right) + \dots + \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+4} \right) \right]$

これは望遠鏡和なので、途中項が打ち消し合い、

$S_n = \frac{1}{6} \left( 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{3n+1} - \frac{1}{3n+4} \right)$

$= \frac{1}{6} \left( \frac{5}{4} - \frac{6n+5}{(3n+1)(3n+4)} \right)$

$= \frac{1}{6} \left( \frac{5(9n^2+15n+4) - 4(6n+5)}{4(3n+1)(3n+4)} \right)$

$= \frac{1}{6} \left( \frac{45n^2+75n+20 - 24n - 20}{4(3n+1)(3n+4)} \right)$

$= \frac{1}{6} \left( \frac{45n^2+51n}{4(3n+1)(3n+4)} \right)$

$= \frac{1}{6} \left( \frac{3n(15n+17)}{4(3n+1)(3n+4)} \right)$

$= \frac{n(15n+17)}{8(3n+1)(3n+4)}$

$= \frac{15n^2 + 17n}{8(9n^2+15n+4)} = \frac{15n^2 + 17n}{72n^2 + 120n + 32}$

3. 最終的な答え

$\frac{15n^2 + 17n}{72n^2 + 120n + 32}$

または

$\frac{n(15n+17)}{8(3n+1)(3n+4)}$