次の関数を微分する問題です。ただし、$a > 0, a \neq 1$ とします。 (1) $y = e^{2x+1}$ (2) $y = 4^x$ (3) $y = xe^{-3x}$ (4) $y = e^x \cos x$ (5) $y = (x+1)3^x$ (6) $y = a^{-3x}$

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。ただし、$a > 0, a \neq 1$ とします。

(1) $y = e^{2x+1}$

(2) $y = 4^x$

(3) $y = xe^{-3x}$

(4) $y = e^x \cos x$

(5) $y = (x+1)3^x$

(6) $y = a^{-3x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{2x+1}$

合成関数の微分を使います。$u = 2x+1$ とおくと、$y = e^u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 2$

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot 2 = 2e^{2x+1}$

(2) $y = 4^x$

指数関数の微分を使います。$y = a^x$ のとき、$\frac{dy}{dx} = a^x \ln a$。

$\frac{dy}{dx} = 4^x \ln 4$

(3) $y = xe^{-3x}$

積の微分と合成関数の微分を使います。$u = x$, $v = e^{-3x}$ とおくと、$y = uv$。

$\frac{dy}{dx} = u'v + uv'$

$u' = 1$

$v' = -3e^{-3x}$

$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot e^{-3x} + x \cdot (-3e^{-3x}) = e^{-3x} - 3xe^{-3x} = (1-3x)e^{-3x}$

(4) $y = e^x \cos x$

積の微分を使います。$u = e^x$, $v = \cos x$ とおくと、$y = uv$。

$\frac{dy}{dx} = u'v + uv'$

$u' = e^x$

$v' = -\sin x$

$\frac{dy}{dx} = e^x \cos x + e^x (-\sin x) = e^x (\cos x - \sin x)$

(5) $y = (x+1)3^x$

積の微分を使います。$u = x+1$, $v = 3^x$ とおくと、$y = uv$。

$\frac{dy}{dx} = u'v + uv'$

$u' = 1$

$v' = 3^x \ln 3$

$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot 3^x + (x+1) \cdot 3^x \ln 3 = 3^x + (x+1)3^x \ln 3 = 3^x(1 + (x+1)\ln 3)$

(6) $y = a^{-3x}$

合成関数の微分を使います。$u = -3x$ とおくと、$y = a^u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = a^u \ln a$

$\frac{du}{dx} = -3$

$\frac{dy}{dx} = a^u \ln a \cdot (-3) = -3a^{-3x} \ln a$

3. 最終的な答え

(1) $2e^{2x+1}$

(2) $4^x \ln 4$

(3) $(1-3x)e^{-3x}$

(4) $e^x (\cos x - \sin x)$

(5) $3^x(1 + (x+1)\ln 3)$

(6) $-3a^{-3x} \ln a$