$\pi$は無理数なので、 $A = \{r \in \mathbb{Q} | r < \pi\}$ $B = \{r \in \mathbb{Q} | r \geq \pi\}$ と定義する。

## 問題の解答

以下に、OCRで読み取れた問題文に対する解答を記述します。

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1. 問題の内容**

* 円周率 $\pi$ において、有理数全体のデデキント切断 $(A, B)$ を与えよ。集合 $A, B$ を内包表記で定義せよ。

* 次の集合それぞれについて、上限、下限を求めよ。また最大値、最小値があるかないかを示せ。

* $A = (-3, 5]$

* $B = \{1 + \frac{1}{n} | n \in \mathbb{N}\}$。ただし $\mathbb{N}$ は 0 を含まない自然数全体とする。

* 「数列 $(a_n)$ が $a$ に収束するとき、$(|a_n|)$ が $|a|$ に収束する」この命題の仮定と結論を、$\epsilon$-$N$ 論法でそれぞれ記述し、証明せよ。

* $\lim_{n \to \infty} 10^{-n} = 0$ を $\epsilon$-$N$ 論法で記述せよ。$\epsilon = 0.01$ のとき対応する自然数 $N$ は最低いくつ以上必要か？

* $\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} k^2}{n^3}$ を求めよ。

* $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{-2}{n})^n$ を求めよ。

* $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$ を求めよ。

* $f(x) = |x-1| + |x+1|$ の連続性を調べよ。また微分可能ではない点があれば述べよ。

* $y = e^{-x}$ の $x = e$ における接線の方程式を求めよ。

* $f(x) = \arctan x + \arctan \frac{1}{x}$ の導関数を $\arctan$ を含まない表記で求めよ。

* $f(x) = xe^{5x}$ の $n$ 階導関数を求めよ。

* $f(x) = e^{x^2}$ をマクローリン展開せよ。

* $f(x) = \log(1+x)$ の $n=3$ のときのマクローリンの公式を求め、$\log 1.001$ の値の近似値を求めよ。

* $f(x) = (x+1)^6$ の $n=3$ のときのマクローリンの公式を求めよ。$(x+1)^6$ を $x$ のべき乗に展開したときとどう違うか述べよ。

* $\theta = -2 + \frac{\pi}{4}i$ とする。$e^\theta$ を $a + bi$ の形に直せ。ここでは $i$ は虚数単位である。

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2. 解き方の手順と解答**

1. **デデキント切断**

$\pi$は無理数なので、

$A = \{r \in \mathbb{Q} | r < \pi\}$

$B = \{r \in \mathbb{Q} | r \geq \pi\}$

と定義する。

2. **上限、下限、最大値、最小値**

* 集合 $A = (-3, 5]$

* 下限: -3

* 上限: 5

* 最小値: なし

* 最大値: 5

* 集合 $B = \{1 + \frac{1}{n} | n \in \mathbb{N}\}$

* 下限: 1

* 上限: 2

* 最小値: なし

* 最大値: 2

3. **数列の収束**

仮定: $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, |a_n - a| < \epsilon$

結論: $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, ||a_n| - |a|| < \epsilon$

証明:

$||a_n| - |a|| \leq |a_n - a|$ より、仮定より結論が導かれる。

4. **$\epsilon$-$N$ 論法**

$\lim_{n \to \infty} 10^{-n} = 0$ の $\epsilon$-$N$ 論法による記述:

$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, |10^{-n} - 0| < \epsilon$

$\epsilon = 0.01$ のとき:

$10^{-n} < 0.01 = 10^{-2}$

$n > 2$

したがって、$N = 3$

5. **極限の計算**

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} k^2}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6n^3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

6. **極限の計算**

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{-2}{n})^n = e^{-2}$

7. **極限の計算**

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = \lim_{x \to 0} \frac{(1+x) - (1-x)}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}} = \frac{2}{1+1} = 1$

8. **連続性と微分可能性**

$f(x) = |x-1| + |x+1|$

* $x < -1$ のとき $f(x) = -(x-1) - (x+1) = -2x$

* $-1 \leq x < 1$ のとき $f(x) = -(x-1) + (x+1) = 2$

* $x \geq 1$ のとき $f(x) = (x-1) + (x+1) = 2x$

$f(x)$ は連続である。

微分可能ではない点: $x = -1, 1$

9. **接線の方程式**

$y = e^{-x}$

$y' = -e^{-x}$

$x = e$ における接線の傾き: $y'(e) = -e^{-e}$

$x = e$ における $y$ 座標: $y(e) = e^{-e}$

接線の方程式: $y - e^{-e} = -e^{-e}(x - e)$

$y = -e^{-e}x + e \cdot e^{-e} + e^{-e} = -e^{-e}x + (e+1)e^{-e}$

1

0. **導関数の計算**

$f(x) = \arctan x + \arctan \frac{1}{x}$

$f'(x) = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1 + (\frac{1}{x})^2} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2 + 1} = 0$

1

1. **n階導関数の計算**

$f(x) = xe^{5x}$

$f'(x) = e^{5x} + 5xe^{5x} = (1 + 5x)e^{5x}$

$f''(x) = 5e^{5x} + 5(1 + 5x)e^{5x} = (10 + 25x)e^{5x} = (5^2x + 2\cdot 5)e^{5x}$

一般的に $f^{(n)}(x) = (5^nx + n5^{n-1})e^{5x} = 5^{n-1}(5x + n)e^{5x}$

1

2. **マクローリン展開**

$f(x) = e^{x^2}$

$e^u = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^n}{n!}$

$e^{x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!}$

1

3. **マクローリン展開と近似値**

$f(x) = \log(1+x)$

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$

$f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$

$f(0) = 0$

$f'(0) = 1$

$f''(0) = -1$

$f'''(0) = 2$

$n=3$ のときのマクローリン展開:

$\log(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$

$\log 1.001 = \log(1 + 0.001) \approx 0.001 - \frac{(0.001)^2}{2} + \frac{(0.001)^3}{3} = 0.001 - 0.0000005 + 0.000000000333 \approx 0.0009995$

1

4. **マクローリン展開とべき乗展開の違い**

$f(x) = (x+1)^6$

$n=3$ のときのマクローリンの公式は、3次までの項を計算する。

$f(0)=1, f'(x)=6(x+1)^5, f'(0)=6, f''(x)=30(x+1)^4, f''(0)=30, f'''(x)=120(x+1)^3, f'''(0)=120$

よって $f(x) = 1 + 6x + \frac{30}{2!}x^2 + \frac{120}{3!}x^3 + ...= 1+6x+15x^2+20x^3$

$(x+1)^6$ を $x$ のべき乗で展開すると、二項定理により

$(x+1)^6 = \sum_{k=0}^6 {6 \choose k} x^k = 1 + 6x + 15x^2 + 20x^3 + 15x^4+ 6x^5+x^6$

$n=3$のマクローリン展開は3次までの項を表し, $(x+1)^6$ を展開すると6次までの項が現れる。

1

5. **複素数の計算**

$\theta = -2 + \frac{\pi}{4}i$

$e^\theta = e^{-2 + \frac{\pi}{4}i} = e^{-2}e^{\frac{\pi}{4}i} = e^{-2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) = e^{-2}(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2e^2} + i\frac{\sqrt{2}}{2e^2}$

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3. 最終的な答え**

1. $A = \{r \in \mathbb{Q} | r < \pi\}$, $B = \{r \in \mathbb{Q} | r \geq \pi\}$

2. A: 下限: -3, 上限: 5, 最大値: 5, 最小値: なし B: 下限: 1, 上限: 2, 最大値: 2, 最小値: なし

3. 上記参照

4. $N = 3$

5. $\frac{1}{3}$

6. $e^{-2}$

7. 1

8. 連続, 微分可能ではない点: $x = -1, 1$

9. $y = -e^{-e}x + (e+1)e^{-e}$

1

0. 0

1

1. $f^{(n)}(x) = 5^{n-1}(5x + n)e^{5x}$

1

2. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!}$

1

3. $\log(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$, $0.0009995$

1

4. 3次までの項の展開, 上記参照

1

5. $\frac{\sqrt{2}}{2e^2} + i\frac{\sqrt{2}}{2e^2}$