はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、(1) $y = \cos(\sin x)$、(3) $y = e^{-2x} \sin 2x$、(6) $y = \sqrt{1+\sin^2 x}$ の３つの問題を解きます。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、(1) $y = \cos(\sin x)$、(3) $y = e^{-2x} \sin 2x$、(6) $y = \sqrt{1+\sin^2 x}$ の３つの問題を解きます。

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1. 問題の内容**

与えられた関数を微分し、$dy/dx$ を求める問題です。

* (1) $y = \cos(\sin x)$

* (3) $y = e^{-2x} \sin 2x$

* (6) $y = \sqrt{1+\sin^2 x}$

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2. 解き方の手順**

**(1) $y = \cos(\sin x)$**

この関数は合成関数なので、連鎖律（チェーンルール）を用います。

* $u = \sin x$ とおくと、$y = \cos u$

* $\frac{dy}{du} = -\sin u$

* $\frac{du}{dx} = \cos x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\sin u \cdot \cos x = -\sin(\sin x) \cdot \cos x$

**(3) $y = e^{-2x} \sin 2x$**

この関数は積の形なので、積の微分公式と連鎖律を用います。積の微分公式は $(uv)' = u'v + uv'$です。

* $u = e^{-2x}$, $v = \sin 2x$

* $\frac{du}{dx} = -2e^{-2x}$ (連鎖律)

* $\frac{dv}{dx} = 2\cos 2x$ (連鎖律)

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} \cdot v + u \cdot \frac{dv}{dx} = -2e^{-2x} \sin 2x + e^{-2x} (2\cos 2x) = 2e^{-2x}(\cos 2x - \sin 2x)$

**(6) $y = \sqrt{1+\sin^2 x}$**

この関数も合成関数なので、連鎖律を用います。

* $u = 1 + \sin^2 x$ とおくと、$y = \sqrt{u} = u^{1/2}$

* $\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

* $\frac{du}{dx} = 2\sin x \cos x$ (連鎖律)

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1+\sin^2 x}} \cdot (2\sin x \cos x) = \frac{\sin x \cos x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}$

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3. 最終的な答え**

* (1) $\frac{dy}{dx} = -\cos x \sin (\sin x)$

* (3) $\frac{dy}{dx} = 2e^{-2x}(\cos 2x - \sin 2x)$

* (6) $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x \cos x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}$