与えられた関数に対してマクローリン展開を求める問題です。 (1) $f(x) = \log(1+x)$ (2) $g(x) = (1+x)^{\alpha}$ (ここで $\alpha$ は実数)

1. 問題の内容

与えられた関数に対してマクローリン展開を求める問題です。

(1) $f(x) = \log(1+x)$

(2) $g(x) = (1+x)^{\alpha}$ (ここで $\alpha$ は実数)

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数を $x=0$ の周りでテイラー展開したものです。つまり、

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

の形になります。

(1) $f(x) = \log(1+x)$ の場合

* $f(0) = \log(1+0) = \log(1) = 0$

* $f'(x) = \frac{1}{1+x}$ より $f'(0) = 1$

* $f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$ より $f''(0) = -1$

* $f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$ より $f'''(0) = 2$

* $f^{(4)}(x) = -\frac{6}{(1+x)^4}$ より $f^{(4)}(0) = -6$

一般に、$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1+x)^n}$ なので、$f^{(n)}(0) = (-1)^{n-1} (n-1)!$

したがって、マクローリン展開は次のようになります。

$\log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{n!} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$

(2) $g(x) = (1+x)^{\alpha}$ の場合

* $g(0) = (1+0)^{\alpha} = 1$

* $g'(x) = \alpha (1+x)^{\alpha-1}$ より $g'(0) = \alpha$

* $g''(x) = \alpha (\alpha-1) (1+x)^{\alpha-2}$ より $g''(0) = \alpha (\alpha-1)$

* $g'''(x) = \alpha (\alpha-1) (\alpha-2) (1+x)^{\alpha-3}$ より $g'''(0) = \alpha (\alpha-1) (\alpha-2)$

一般に、$g^{(n)}(x) = \alpha (\alpha-1) \cdots (\alpha-n+1) (1+x)^{\alpha-n}$ なので、$g^{(n)}(0) = \alpha (\alpha-1) \cdots (\alpha-n+1)$

したがって、マクローリン展開は次のようになります。

$(1+x)^{\alpha} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha (\alpha-1) \cdots (\alpha-n+1)}{n!} x^n$

二項係数の記号を使うと

$(1+x)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \cdots$

3. 最終的な答え

(1) $\log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$

(2) $(1+x)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \cdots$