問題は以下の2つの部分から構成されています。 (1) 与えられた行列 $A, B, C, D$ に対して、$AB, BC, CD, DA$ を計算する。 (2) 与えられた線形写像 $f$ が全単射かどうかを判定し、全単射ならば逆写像を求める。

1. 問題の内容

問題は以下の2つの部分から構成されています。

(1) 与えられた行列 $A, B, C, D$ に対して、$AB, BC, CD, DA$ を計算する。

(2) 与えられた線形写像 $f$ が全単射かどうかを判定し、全単射ならば逆写像を求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列の計算

(i) $AB$ の計算

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2+1 & 0+4+1 \\ 0+3+4 & 0+6+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 10 \end{pmatrix}$

(ii) $BC$ の計算

$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

$BC = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 \\ 1-2 \\ 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(iii) $CD$ の計算

$C = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$, $D = (2\ 3)$

$CD = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} (2\ 3) = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$

(iv) $DA$ の計算

$D = (2\ 3)$, $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

$DA = (2\ 3) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 4 \end{pmatrix} = (2+0\ 4+9\ 2+12) = (2\ 13\ 14)$

(2) 線形写像の判定

(i) $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2, \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 2x-y+2z \\ x+y \end{pmatrix}$

この写像は全射ですが、単射ではありません。

例えば、$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ は両方とも $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ に写像されます。したがって単射ではありません。

(ii) $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x+2y \\ 3x+7y \end{pmatrix}$

この写像が全単射かどうかを判定するために、$\begin{pmatrix} x+2y \\ 3x+7y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ を解きます。

$x+2y=a$

$3x+7y=b$

上の式を3倍して下の式から引くと

$7y - 6y = b - 3a$

$y = b - 3a$

$x = a - 2y = a - 2(b - 3a) = a - 2b + 6a = 7a - 2b$

したがって、逆写像は $f^{-1}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 7a-2b \\ -3a+b \end{pmatrix}$ です。

3. 最終的な答え

(1) (i) $AB = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 10 \end{pmatrix}$

(ii) $BC = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(iii) $CD = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$

(iv) $DA = (2\ 13\ 14)$

(2) (i) 全射だが単射ではない。

(ii) 全単射であり、逆写像は $f^{-1}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 7a-2b \\ -3a+b \end{pmatrix}$