問題は2つあり、それぞれ複数の小問に分かれています。 * 3-2：与えられた式を工夫して展開する。 (1) $(a-b-c)(a+b-c)$ (2) $(x+2)^2(x-2)^2$ (3) $(p+1)(p^2+1)(p-1)$ (4) $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)$ * 3-3：与えられた式を展開し、$c$ について整理する。 (1) $a(b+c)^2 + b(c+a)^2 - 3abc$ (2) $(a+2b-3c)^2 + (a+2b)(b-3c)$

1. 問題の内容

問題は2つあり、それぞれ複数の小問に分かれています。

* 3-2：与えられた式を工夫して展開する。

(1) $(a-b-c)(a+b-c)$

(2) $(x+2)^2(x-2)^2$

(3) $(p+1)(p^2+1)(p-1)$

(4) $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)$

* 3-3：与えられた式を展開し、$c$ について整理する。

(1) $a(b+c)^2 + b(c+a)^2 - 3abc$

(2) $(a+2b-3c)^2 + (a+2b)(b-3c)$

2. 解き方の手順

3-2

(1) $(a-b-c)(a+b-c) = (a-(b+c))(a+(b-c)) = (a-(b+c))(a+(b-c)) = (a-(b+c))(a+(b-c))$

$A = b-c$ とおく。

$(a-A)(a+A) = a^2 - A^2 = a^2 - (b-c)^2 = a^2 - (b^2 - 2bc + c^2) = a^2 - b^2 - c^2 + 2bc$

(2) $(x+2)^2(x-2)^2 = ((x+2)(x-2))^2 = (x^2-4)^2 = x^4 - 8x^2 + 16$

(3) $(p+1)(p^2+1)(p-1) = (p+1)(p-1)(p^2+1) = (p^2-1)(p^2+1) = p^4 - 1$

(4) $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) = (x+1)(x+7)(x+3)(x+5) = (x^2 + 8x + 7)(x^2 + 8x + 15)$

$A = x^2 + 8x$ とおく。

$(A+7)(A+15) = A^2 + 22A + 105 = (x^2+8x)^2 + 22(x^2+8x) + 105 = x^4 + 16x^3 + 64x^2 + 22x^2 + 176x + 105 = x^4 + 16x^3 + 86x^2 + 176x + 105$

3-3

(1) $a(b+c)^2 + b(c+a)^2 - 3abc = a(b^2 + 2bc + c^2) + b(c^2 + 2ac + a^2) - 3abc = ab^2 + 2abc + ac^2 + bc^2 + 2abc + ba^2 - 3abc = ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + abc$

$ac^2 + bc^2 + abc + ab^2 + a^2b = (a+b)c^2 + abc + ab^2 + a^2b= (a+b)c^2 + abc + ab(b+a)=(a+b)c^2 + c(ab) + (a+b)(ab)= (a+b)c^2 + abc+ab(a+b)=(a+b)c^2 + (ab)c + ab(a+b)=(a+b)c^2+(ab)c+a^2b+ab^2$

よって $(a+b)c^2 + ab c + ab(a+b)$

(2) $(a+2b-3c)^2 + (a+2b)(b-3c) = (a+2b)^2 - 6c(a+2b) + 9c^2 + (a+2b)(b-3c) = a^2 + 4ab + 4b^2 - 6ac - 12bc + 9c^2 + ab - 3ac + 2b^2 - 6bc = a^2 + 5ab + 6b^2 - 9ac - 18bc + 9c^2$

$9c^2 - (9a+18b)c + a^2 + 5ab + 6b^2 = 9c^2 - (9a+18b)c + (a+2b)(a+3b)$

3. 最終的な答え

3-2

(1) $a^2 - b^2 - c^2 + 2bc$

(2) $x^4 - 8x^2 + 16$

(3) $p^4 - 1$

(4) $x^4 + 16x^3 + 86x^2 + 176x + 105$

3-3

(1) $(a+b)c^2 + abc + ab(a+b)$

(2) $9c^2 - (9a+18b)c + a^2 + 5ab + 6b^2$