以下の4つの式を展開せよ。 (1) $(a-b-c)(a+b-c)$ (2) $(x+2)^2(x-2)$ (3) $(p+1)(p^2+1)(p-1)$ (4) $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)$

1. 問題の内容

以下の4つの式を展開せよ。

(1) $(a-b-c)(a+b-c)$

(2) $(x+2)^2(x-2)$

(3) $(p+1)(p^2+1)(p-1)$

(4) $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)$

2. 解き方の手順

(1) $(a-b-c)(a+b-c)$ を展開する。

$A = a-c$ とおくと、与式は $(A-b)(A+b)$ となる。

これは和と差の積の公式 $A^2 - b^2$ で展開できる。

したがって、$(a-c)^2 - b^2 = (a^2 - 2ac + c^2) - b^2 = a^2 - b^2 + c^2 - 2ac$ となる。

(2) $(x+2)^2(x-2)$ を展開する。

$(x+2)^2 = (x+2)(x+2) = x^2 + 4x + 4$ である。

よって、$(x^2+4x+4)(x-2) = x^3 + 4x^2 + 4x - 2x^2 - 8x - 8 = x^3 + 2x^2 - 4x - 8$ となる。

(3) $(p+1)(p^2+1)(p-1)$ を展開する。

$(p+1)(p-1) = p^2 - 1$ であるから、$(p^2-1)(p^2+1) = (p^2)^2 - 1^2 = p^4 - 1$ となる。

(4) $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)$ を展開する。

$(x+1)(x+7) = x^2 + 8x + 7$

$(x+3)(x+5) = x^2 + 8x + 15$

$A = x^2 + 8x$ とおくと、$(A+7)(A+15) = A^2 + 22A + 105$ となる。

$A^2 = (x^2+8x)^2 = x^4 + 16x^3 + 64x^2$

$22A = 22(x^2+8x) = 22x^2 + 176x$

したがって、$x^4 + 16x^3 + 64x^2 + 22x^2 + 176x + 105 = x^4 + 16x^3 + 86x^2 + 176x + 105$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $a^2 - b^2 + c^2 - 2ac$

(2) $x^3 + 2x^2 - 4x - 8$

(3) $p^4 - 1$

(4) $x^4 + 16x^3 + 86x^2 + 176x + 105$