複素数平面上の異なる3点 $z_1$, $z_2$, $z_3$ が与えられ、以下の条件を満たしている。 (A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$ (B) 点 $z_3$ は2点 $z_1$, $z_2$ を通る直線に関して、点0と反対側にある。 (C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形である。 このとき、$\alpha = \cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3}$ とするとき、$\alpha z_1 = p z_1 + q z_2$ および $\alpha z_2 = r z_1 + s z_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表す。

1. 問題の内容

複素数平面上の異なる3点 $z_1$, $z_2$, $z_3$ が与えられ、以下の条件を満たしている。

(A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$

(B) 点 $z_3$ は2点 $z_1$, $z_2$ を通る直線に関して、点0と反対側にある。

(C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形である。

このとき、$\alpha = \cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3}$ とするとき、$\alpha z_1 = p z_1 + q z_2$ および $\alpha z_2 = r z_1 + s z_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、条件(A)より、$\arg \frac{z_1}{z_2} = \frac{2\pi}{3}$ であるから、$z_1 = k z_2 \left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right)$ ($k > 0$) と表せる。

したがって、$z_1 = k z_2 \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$となる。…(1)

ここで、$\alpha = \cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ である。…(2)

(1), (2)を$\alpha z_1 = p z_1 + q z_2$ に代入すると、

$\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)k z_2 \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = p k z_2 \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) + q z_2$

$k z_2 \left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{3}{2}\right) = z_2 \left(p k \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) + q\right)$

$k z_2 (-1) = z_2 \left(-\frac{1}{2}pk + q + pk\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$

よって、$-\frac{1}{2}pk + q = -k$ および $\frac{\sqrt{3}}{2} pk = 0$

$k > 0$ より、$p = 0$, $q = -k$となる。

また、$z_1 = k z_2 \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$ より、$|z_1| = k |z_2|$ であるから、$k = \frac{|z_1|}{|z_2|}$

したがって、$p = 0$, $q = -\frac{|z_1|}{|z_2|}$

同様に、$\alpha z_2 = r z_1 + s z_2$ に (1), (2)を代入すると、

$\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)z_2 = r k z_2 \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) + s z_2$

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i = r k \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) + s$

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i = -\frac{1}{2}rk + s + rk\frac{\sqrt{3}}{2}i$

したがって、$-\frac{1}{2}rk + s = \frac{1}{2}$ および $\frac{\sqrt{3}}{2}rk = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$rk = 1$ であるから、$r = \frac{1}{k} = \frac{|z_2|}{|z_1|}$

また、$-\frac{1}{2} + s = \frac{1}{2}$ より、$s = 1$

よって、$r = \frac{|z_2|}{|z_1|}$, $s = 1$

3. 最終的な答え

$p = 0$, $q = -\frac{|z_1|}{|z_2|}$, $r = \frac{|z_2|}{|z_1|}$, $s = 1$