ある病気の人に薬を投与したとき、その症状が「改善」「変化なし」「悪化」のいずれかに等しい確率で分類される。 (1) 6人に薬を投与したとき、3人が同じ状態になり、残りの3人も同じ状態になる確率を求める。 (2) n人に薬を投与したとき、少なくともn-3人が同じ状態になる確率 $p_n$ を求める。ただし、$n \ge 7$。 (3) $\lim_{n \to \infty} \frac{p_{n+1}}{p_n}$ の値を求める。

1. 問題の内容

ある病気の人に薬を投与したとき、その症状が「改善」「変化なし」「悪化」のいずれかに等しい確率で分類される。

(1) 6人に薬を投与したとき、3人が同じ状態になり、残りの3人も同じ状態になる確率を求める。

(2) n人に薬を投与したとき、少なくともn-3人が同じ状態になる確率 $p_n$ を求める。ただし、$n \ge 7$。

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{p_{n+1}}{p_n}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 6人中3人が同じ状態になる状態が3パターンあり（改善、変化なし、悪化）、残りの3人も同じ状態になる確率を計算する。

まず、6人から3人を選ぶ組み合わせは ${}_6 C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$ 通り。

選ばれた3人が同じ状態になる確率は $(\frac{1}{3})^3$

残りの3人も同じ状態になる確率は $(\frac{1}{3})^3$

よって、ある状態になる確率は ${}_6C_3 \cdot (\frac{1}{3})^3 (\frac{1}{3})^3= 20 \cdot (\frac{1}{3})^6$

3つの状態（改善、変化なし、悪化）を考慮して、

求める確率は $3 \times 20 \cdot (\frac{1}{3})^6 = \frac{60}{729} = \frac{20}{243}$

(2) $n$ 人に薬を与えたとき、少なくとも $n-3$ 人が同じ状態になる確率 $p_n$ を求める。

少なくとも $n-3$ 人が同じ状態になるのは、

- $n-3$ 人が同じ状態になる場合

- $n-2$ 人が同じ状態になる場合

- $n-1$ 人が同じ状態になる場合

- $n$ 人が同じ状態になる場合

の4つの場合がある。

ある特定の状態（改善、変化なし、悪化のいずれか）を考える。

$n-3$人が同じ状態になる場合： ${}_nC_{n-3} (\frac{1}{3})^{n-3} (1-\frac{1}{3})^{3} = {}_nC_{3} (\frac{1}{3})^{n-3} (\frac{2}{3})^{3}$

$n-2$人が同じ状態になる場合： ${}_nC_{n-2} (\frac{1}{3})^{n-2} (1-\frac{1}{3})^{2} = {}_nC_{2} (\frac{1}{3})^{n-2} (\frac{2}{3})^{2}$

$n-1$人が同じ状態になる場合： ${}_nC_{n-1} (\frac{1}{3})^{n-1} (1-\frac{1}{3})^{1} = {}_nC_{1} (\frac{1}{3})^{n-1} (\frac{2}{3})^{1}$

$n$人が同じ状態になる場合： ${}_nC_{n} (\frac{1}{3})^{n} (1-\frac{1}{3})^{0} = (\frac{1}{3})^{n}$

これらの場合が改善、変化なし、悪化の3パターンあるので、

$p_n = 3 \left[ {}_nC_{3} (\frac{1}{3})^{n-3} (\frac{2}{3})^{3} + {}_nC_{2} (\frac{1}{3})^{n-2} (\frac{2}{3})^{2} + {}_nC_{1} (\frac{1}{3})^{n-1} (\frac{2}{3})^{1} + (\frac{1}{3})^{n} \right]$

$p_n = 3 \left[ \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \frac{8}{3^n} + \frac{n(n-1)}{2} \frac{4}{3^n} + n \frac{2}{3^n} + \frac{1}{3^n} \right]$

$p_n = \frac{1}{3^n} \left[ \frac{4n(n-1)(n-2)}{3} + 6n(n-1) + 6n + 3 \right]$

$p_n = \frac{1}{3^n} \left[ \frac{4n^3 - 12n^2 + 8n + 18n^2 - 18n + 18n + 9}{3} \right] = \frac{4n^3 + 6n^2 + 8n + 9}{3^{n+1}}$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{p_{n+1}}{p_n}$ を求める。

$\frac{p_{n+1}}{p_n} = \frac{\frac{4(n+1)^3 + 6(n+1)^2 + 8(n+1) + 9}{3^{n+2}}}{\frac{4n^3 + 6n^2 + 8n + 9}{3^{n+1}}} = \frac{4(n+1)^3 + 6(n+1)^2 + 8(n+1) + 9}{3(4n^3 + 6n^2 + 8n + 9)}$

$= \frac{4(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + 6(n^2 + 2n + 1) + 8(n+1) + 9}{3(4n^3 + 6n^2 + 8n + 9)} = \frac{4n^3 + 18n^2 + 32n + 27}{12n^3 + 18n^2 + 24n + 27}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{p_{n+1}}{p_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^3 + 18n^2 + 32n + 27}{12n^3 + 18n^2 + 24n + 27} = \lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{18}{n} + \frac{32}{n^2} + \frac{27}{n^3}}{12 + \frac{18}{n} + \frac{24}{n^2} + \frac{27}{n^3}} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{20}{243}$

(2) $p_n = \frac{4n^3 + 6n^2 + 8n + 9}{3^{n+1}}$

(3) $\frac{1}{3}$