(1) 座標平面上の点 $(x, y)$ と点 $(a, b)$ を結ぶ線分の傾きを求める。ただし、$x \ne a$ とする。 (2) 連立不等式 $x^2 + y^2 \le 1$, $y \ge x^2 - 1$ の表す領域 $D$ を図示する。 (3) (2) の領域 $D$ 内の点 $(x, y)$ に対して $\frac{4y - 7}{x - 3}$ が最大となる $(x, y)$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 座標平面上の点 $(x, y)$ と点 $(a, b)$ を結ぶ線分の傾きを求める。ただし、$x \ne a$ とする。

(2) 連立不等式 $x^2 + y^2 \le 1$, $y \ge x^2 - 1$ の表す領域 $D$ を図示する。

(3) (2) の領域 $D$ 内の点 $(x, y)$ に対して $\frac{4y - 7}{x - 3}$ が最大となる $(x, y)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2点間の傾きは、$y$ の変化量を $x$ の変化量で割ったものなので、傾きは $\frac{y - b}{x - a}$ となる。

(2)

$x^2 + y^2 \le 1$ は原点を中心とする半径 1 の円の内部（境界を含む）を表す。

$y \ge x^2 - 1$ は放物線 $y = x^2 - 1$ の上側（境界を含む）を表す。

これら2つの領域の共通部分を図示する。

(3)

$k = \frac{4y - 7}{x - 3}$ とおくと、$4y - 7 = k(x - 3)$ より、$4y = kx - 3k + 7$ となる。

したがって、$y = \frac{k}{4}x - \frac{3}{4}k + \frac{7}{4}$ となる。

これは傾きが $\frac{k}{4}$ であり、切片が $-\frac{3}{4}k + \frac{7}{4}$ の直線を表す。

この直線が領域 $D$ と共有点を持つような $k$ の最大値を求めれば良い。

言い換えると、点 $(3, \frac{7}{4})$ を通る傾き $\frac{k}{4}$ の直線が、領域 $D$ と共有点を持つような $\frac{k}{4}$ の最大値を求めることになる。

領域Dは円 $x^2 + y^2 = 1$ と放物線 $y = x^2 - 1$ で囲まれている。

直線が円と接するときを考える。

$y = \frac{k}{4}x - \frac{3}{4}k + \frac{7}{4}$ を $x^2 + y^2 = 1$ に代入して

$x^2 + (\frac{k}{4}x - \frac{3}{4}k + \frac{7}{4})^2 = 1$

$x^2 + \frac{k^2}{16}x^2 + (\frac{-3k + 7}{4})^2 + 2 \times \frac{k}{4} \times \frac{-3k + 7}{4} x = 1$

$(16 + k^2)x^2 + 2k(-3k + 7)x + (3k - 7)^2 - 16 = 0$

判別式 $D = 0$ を考えると

$D = 4k^2(-3k + 7)^2 - 4(16 + k^2)((3k - 7)^2 - 16) = 0$

$k^2(9k^2 - 42k + 49) - (16 + k^2)(9k^2 - 42k + 49 - 16) = 0$

$9k^4 - 42k^3 + 49k^2 - (16 + k^2)(9k^2 - 42k + 33) = 0$

$9k^4 - 42k^3 + 49k^2 - (144k^2 - 672k + 528 + 9k^4 - 42k^3 + 33k^2) = 0$

$-128k^2 + 672k - 528 = 0$

$16k^2 - 84k + 66 = 0$

$8k^2 - 42k + 33 = 0$

$k = \frac{42 \pm \sqrt{42^2 - 4 \times 8 \times 33}}{16} = \frac{42 \pm \sqrt{1764 - 1056}}{16} = \frac{42 \pm \sqrt{708}}{16} = \frac{42 \pm 2\sqrt{177}}{16} = \frac{21 \pm \sqrt{177}}{8}$

領域 D は $x^2 + y^2 \le 1$ と $y \ge x^2 - 1$ で定義される。

$x = 2$ のとき、 $y = x^2 - 1 = 3$ となり、$y \ge x^2 - 1$ を満たすが、$x^2 + y^2 \le 1$ を満たさない。

円と放物線の交点を求めると、$x^2 = y + 1$ だから、$y + 1 + y^2 = 1$ より、$y(y + 1) = 0$ となる。

$y = 0, -1$

$y = 0$ のとき、$x = \pm 1$

$y = -1$ のとき、$x = 0$

$(1, 0)$, $(-1, 0)$, $(0, -1)$ が交点となる。

点 $(1, 0)$ のとき、$k = \frac{4(0) - 7}{1 - 3} = \frac{-7}{-2} = \frac{7}{2} = 3.5$

点 $(-1, 0)$ のとき、$k = \frac{4(0) - 7}{-1 - 3} = \frac{-7}{-4} = \frac{7}{4} = 1.75$

点 $(0, -1)$ のとき、$k = \frac{4(-1) - 7}{0 - 3} = \frac{-11}{-3} = \frac{11}{3} = 3.666...$

$k = \frac{21 + \sqrt{177}}{8} \approx 4.157$, $k = \frac{21 - \sqrt{177}}{8} \approx 1.093$

点 $(x, y) = (1, 0)$ を通るとき、$k = \frac{7}{2} = 3.5$。

点 $(0, -1)$ を通るとき、$k = \frac{11}{3} \approx 3.67$。

$k = \frac{11}{3}$ のとき、$y = \frac{11}{12}x - \frac{33}{12} + \frac{21}{4} = \frac{11}{12}x - \frac{11}{4} + \frac{21}{4} = \frac{11}{12}x + \frac{10}{4} = \frac{11}{12}x + \frac{5}{2}$

$(0, -1)$ は $y \ge x^2 - 1$ を満たすので、$(0, -1)$ は領域 $D$ 内の点である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{y - b}{x - a}$

(2) 図示は省略

(3) $(0, -1)$