与えられた関数 $y = \frac{2x}{(3x-2)^2}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{2x}{(3x-2)^2}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式を用いる。商の微分公式は以下の通り。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = 2x$、$v = (3x-2)^2$とおくと、

$u' = \frac{d}{dx}(2x) = 2$

$v' = \frac{d}{dx}((3x-2)^2) = 2(3x-2)\cdot3 = 6(3x-2)$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2(3x-2)^2 - 2x(6(3x-2))}{((3x-2)^2)^2} = \frac{2(3x-2)^2 - 12x(3x-2)}{(3x-2)^4}$

分子を整理する。

$2(3x-2)^2 - 12x(3x-2) = 2(3x-2)[(3x-2) - 6x] = 2(3x-2)(3x-2-6x) = 2(3x-2)(-3x-2) = -2(3x-2)(3x+2)$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2(3x-2)(3x+2)}{(3x-2)^4} = \frac{-2(3x+2)}{(3x-2)^3}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2(3x+2)}{(3x-2)^3}$