関数 $y = \frac{(x-1)\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}$ の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{(x-1)\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y$ を以下のように書き換えます。

$y = (x-1) \cdot \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}} = (x-1) \sqrt{\frac{x+1}{x}} = (x-1) \sqrt{1 + \frac{1}{x}}$

次に、$y$を微分します。積の微分公式と合成関数の微分公式を使います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left[ (x-1) \sqrt{1 + \frac{1}{x}} \right]$

$= \frac{d(x-1)}{dx} \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + (x-1) \frac{d}{dx} \sqrt{1 + \frac{1}{x}}$

$= 1 \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + (x-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 + \frac{1}{x}}} \cdot \frac{d}{dx} \left(1 + \frac{1}{x}\right)$

$= \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + (x-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 + \frac{1}{x}}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)$

$= \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - \frac{x-1}{2x^2\sqrt{1 + \frac{1}{x}}}$

$= \sqrt{\frac{x+1}{x}} - \frac{x-1}{2x^2\sqrt{\frac{x+1}{x}}}$

$= \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}} - \frac{x-1}{2x^2\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}}$

$= \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}} - \frac{x-1}{2x^{3/2}\sqrt{x+1}}$

$= \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}} - \frac{x-1}{2x\sqrt{x}\sqrt{x+1}}$

$= \frac{2x(x+1) - (x-1)}{2x\sqrt{x(x+1)}}$

$= \frac{2x^2+2x - x + 1}{2x\sqrt{x(x+1)}}$

$= \frac{2x^2+x+1}{2x\sqrt{x(x+1)}}$

$= \frac{2x^2+x+1}{2x\sqrt{x^2+x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2+x+1}{2x\sqrt{x^2+x}}$