不定積分 $\int \sqrt{x^2+1} \, dx$ を求める問題です。ただし、積分定数は記述しません。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \sqrt{x^2+1} \, dx$ を求める問題です。ただし、積分定数は記述しません。

2. 解き方の手順

この積分は、三角関数置換を用いて解くことができます。

ステップ1：置換

$x = \sinh(t)$ と置換します。このとき、$dx = \cosh(t) \, dt$ となります。

$\sinh(t) = \frac{e^t - e^{-t}}{2}$

$\cosh(t) = \frac{e^t + e^{-t}}{2}$

の関係を使用します。

ステップ2：置換後の積分

積分は次のようになります。

$\int \sqrt{\sinh^2(t) + 1} \cdot \cosh(t) \, dt = \int \sqrt{\cosh^2(t)} \cdot \cosh(t) \, dt = \int \cosh^2(t) \, dt$

ステップ3：双曲線関数の恒等式を使用

$\cosh^2(t) = \frac{1 + \cosh(2t)}{2}$ を使って、積分を書き換えます。

$\int \cosh^2(t) \, dt = \int \frac{1 + \cosh(2t)}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int (1 + \cosh(2t)) \, dt = \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{2} \sinh(2t) \right) + C$

ステップ4：$\sinh(2t)$ を展開

$\sinh(2t) = 2 \sinh(t) \cosh(t)$ なので、

$\frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{2} \sinh(2t) \right) = \frac{1}{2} (t + \sinh(t) \cosh(t)) + C$

ステップ5：変数変換を元に戻す

$x = \sinh(t)$ だったので、$t = \sinh^{-1}(x)$ となります。

$\cosh(t) = \sqrt{\sinh^2(t) + 1} = \sqrt{x^2 + 1}$

したがって、積分は

$\frac{1}{2} \left( \sinh^{-1}(x) + x\sqrt{x^2 + 1} \right) + C$

$\sinh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ なので、

$\frac{1}{2} \left( \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + x\sqrt{x^2 + 1} \right) + C$

積分定数を記述しないので、$C$を省略します。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1} + \frac{1}{2}\ln(x + \sqrt{x^2+1})$

または

$\frac{1}{2} (x\sqrt{x^2+1} + \text{arcsinh}(x))$