マクローリンの定理を用いて、以下の空欄を埋める問題です。 (1) $\cos x = \sum_{k=0}^{n} (a) + R_{2n+2}$。剰余項 $R_{2n+2} = (b)$ ($0 < \theta < 1$)。 (2) $f''(x)$が連続、$f''(0) \neq 0$のとき、$f(x) = f(0) + xf'(cx)$ ($0 < c < 1$)について、$x \to 0$のとき、$c \to (c)$。 (3) $f'''(x)$が連続、$f''(0) = 0$、$f'''(0) \neq 0$のとき、$f(x) = f(0) + xf'(cx)$ ($0 < c < 1$)について、$x \to 0$のとき、$c \to (d)$。

1. 問題の内容

マクローリンの定理を用いて、以下の空欄を埋める問題です。

(1) $\cos x = \sum_{k=0}^{n} (a) + R_{2n+2}$。剰余項 $R_{2n+2} = (b)$ ($0 < \theta < 1$)。

(2) $f''(x)$が連続、$f''(0) \neq 0$のとき、$f(x) = f(0) + xf'(cx)$ ($0 < c < 1$)について、$x \to 0$のとき、$c \to (c)$。

(3) $f'''(x)$が連続、$f''(0) = 0$、$f'''(0) \neq 0$のとき、$f(x) = f(0) + xf'(cx)$ ($0 < c < 1$)について、$x \to 0$のとき、$c \to (d)$。

2. 解き方の手順

(1)

$\cos x$のマクローリン展開は次のようになります。

$\cos x = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!} + R_{2n+2}$

ここで、$R_{2n+2}$は剰余項であり、ラグランジュの剰余項の公式を用いると、

$R_{2n+2} = \frac{f^{(2n+2)}(\theta x)}{(2n+2)!} x^{2n+2}$

$f(x) = \cos x$なので、$f^{(2n+2)}(x) = (-1)^{n+1} \cos x$。よって、

$R_{2n+2} = \frac{(-1)^{n+1} \cos(\theta x)}{(2n+2)!} x^{2n+2}$

(2)

$f'(cx)$をマクローリン展開します。

$f'(cx) = f'(0) + f''(0)cx + O((cx)^2)$

これを$f(x) = f(0) + xf'(cx)$に代入すると、

$f(x) = f(0) + x(f'(0) + f''(0)cx + O((cx)^2))$

$x \to 0$のとき、$f(x) \to f(0)$なので、

$f(0) = f(0) + xf'(0) + x^2 f''(0)c + O(x^3)$

$xf'(0)+x^2 f''(0)c + ... =0$

$f'(0)$が存在すれば、$x \to 0$のとき$f'(0)$ の項よりも$x^2$の方が早く0に収束するので、$x \to 0$のとき、$c$は$1/2$に近づきます。

$f(x) = f(0) + xf'(cx)$を変形すると

$\frac{f(x)-f(0)}{x} = f'(cx)$

$x \to 0$のとき、左辺は$f'(0)$に近づくので$f'(0) = f'(0)$

$f(x) = f(0) + xf'(0) + \frac{x^2}{2}f''(0) + ...$

$f'(cx) = f'(0) + cx f''(0) + ...$

$f(x) = f(0) + xf'(cx)=f(0) + x(f'(0) + cx f''(0) + ...)=f(0) + xf'(0) + cx^2 f''(0) + ...$

$\frac{1}{2}f''(0) = c f''(0)$

$c = \frac{1}{2}$

(3)

$f'(cx)$をマクローリン展開します。

$f'(cx) = f'(0) + f''(0)cx + \frac{1}{2}f'''(0)(cx)^2 + O((cx)^3)$

問題文より、$f''(0)=0$なので、

$f'(cx) = f'(0) + \frac{1}{2}f'''(0)(cx)^2 + O((cx)^3)$

これを$f(x) = f(0) + xf'(cx)$に代入すると、

$f(x) = f(0) + x(f'(0) + \frac{1}{2}f'''(0)(cx)^2 + O((cx)^3))$

$f(x) = f(0) + xf'(0) + \frac{1}{2}c^2 x^3 f'''(0) + O(x^4)$

$x \to 0$のとき、$c$は$\frac{1}{\sqrt{3}}$に近づきます。

3. 最終的な答え

(1) (a): $\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$

(1) (b): $\frac{(-1)^{n+1} \cos(\theta x)}{(2n+2)!} x^{2n+2}$

(2) (c): $\frac{1}{2}$

(3) (d): $\frac{1}{\sqrt{3}}$