$0 < r < 1$ とする。数列 $\{a_n\}$ が $|a_{n+1} - a_n| < r^n$ $(\forall n \in \mathbb{N})$ を満たすとき、数列 $\{a_n\}$ がコーシー列であることを示す。

1. 問題の内容

$0 < r < 1$ とする。数列 $\{a_n\}$ が $|a_{n+1} - a_n| < r^n$ $(\forall n \in \mathbb{N})$ を満たすとき、数列 $\{a_n\}$ がコーシー列であることを示す。

2. 解き方の手順

コーシー列の定義は、「任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある自然数 $N$ が存在し、$m, n > N$ ならば $|a_m - a_n| < \epsilon$ が成り立つ」ことです。

$m > n$ と仮定します（一般性を失いません）。$|a_m - a_n|$ を評価します。

$|a_m - a_n| = |a_m - a_{m-1} + a_{m-1} - a_{m-2} + \dots + a_{n+1} - a_n|$

三角不等式を適用すると、

$|a_m - a_n| \leq |a_m - a_{m-1}| + |a_{m-1} - a_{m-2}| + \dots + |a_{n+1} - a_n|$

仮定より $|a_{k+1} - a_k| < r^k$ なので、

$|a_m - a_n| < r^{m-1} + r^{m-2} + \dots + r^n = r^n + r^{n+1} + \dots + r^{m-1}$

これは初項 $r^n$, 公比 $r$ の等比数列の一部の和なので、$m \to \infty$ とすれば、等比級数の和に近づきます。

$|a_m - a_n| < \sum_{k=n}^{\infty} r^k = \frac{r^n}{1-r}$

任意の $\epsilon > 0$ に対して、$|a_m - a_n| < \epsilon$ となるように $n$ を選ぶことを考えます。つまり、

$\frac{r^n}{1-r} < \epsilon$

$r^n < \epsilon(1-r)$

$n \log r < \log (\epsilon(1-r))$

$0 < r < 1$ より $\log r < 0$ なので、

$n > \frac{\log (\epsilon(1-r))}{\log r}$

したがって、$N = \frac{\log (\epsilon(1-r))}{\log r}$ とすれば、$n > N$ ならば $|a_m - a_n| < \epsilon$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

数列 $\{a_n\}$ はコーシー列である。