関数 $f(t) = e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t)$ を積分する問題です。すなわち、不定積分 $\int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt$ を求める必要があります。

1. 問題の内容

関数 $f(t) = e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t)$ を積分する問題です。すなわち、不定積分 $\int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt$ を求める必要があります。

2. 解き方の手順

部分積分を2回用います。

まず、$I = \int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt$ とおきます。

1回目の部分積分：

$u = \sin(2t)$, $dv = e^{-\frac{t}{2}} dt$ とすると、

$du = 2\cos(2t) dt$, $v = -2e^{-\frac{t}{2}}$ となります。

よって、

$I = \int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt = -2e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) - \int (-2e^{-\frac{t}{2}}) (2\cos(2t)) dt = -2e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) + 4\int e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) dt$

2回目の部分積分：

$u = \cos(2t)$, $dv = e^{-\frac{t}{2}} dt$ とすると、

$du = -2\sin(2t) dt$, $v = -2e^{-\frac{t}{2}}$ となります。

よって、

$\int e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) dt = -2e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) - \int (-2e^{-\frac{t}{2}}) (-2\sin(2t)) dt = -2e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) - 4\int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt = -2e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) - 4I$

したがって、

$I = -2e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) + 4(-2e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) - 4I) = -2e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) - 8e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) - 16I$

$17I = -2e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) - 8e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t)$

$I = -\frac{2}{17} e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) - \frac{8}{17} e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) + C$

3. 最終的な答え

$\int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt = -\frac{2}{17} e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) - \frac{8}{17} e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) + C$