次の関数の導関数を対数微分法を利用して求める問題です。 (1) $x^{\cos x}$ (2) $(\log x)^{1/x}$ (3) $\frac{(x+1)(x^2+1)}{(x+2)(x^2+3)}$ ただし、(3)の答えは、通分しなくてもよいです。

1. 問題の内容

次の関数の導関数を対数微分法を利用して求める問題です。

(1) $x^{\cos x}$

(2) $(\log x)^{1/x}$

(3) $\frac{(x+1)(x^2+1)}{(x+2)(x^2+3)}$

ただし、(3)の答えは、通分しなくてもよいです。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^{\cos x}$ の場合

対数をとると、

$\log y = \cos x \log x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\sin x \log x + \cos x \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( -\sin x \log x + \frac{\cos x}{x} \right)$

$\frac{dy}{dx} = x^{\cos x} \left( -\sin x \log x + \frac{\cos x}{x} \right)$

(2) $y = (\log x)^{1/x}$ の場合

対数をとると、

$\log y = \frac{1}{x} \log (\log x)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2} \log (\log x) + \frac{1}{x} \frac{1}{\log x} \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( -\frac{\log (\log x)}{x^2} + \frac{1}{x^2 \log x} \right)$

$\frac{dy}{dx} = (\log x)^{1/x} \left( -\frac{\log (\log x)}{x^2} + \frac{1}{x^2 \log x} \right)$

$\frac{dy}{dx} = (\log x)^{1/x} \frac{1 - \log (\log x)}{x^2 \log x}$

(3) $y = \frac{(x+1)(x^2+1)}{(x+2)(x^2+3)}$ の場合

対数をとると、

$\log y = \log (x+1) + \log (x^2+1) - \log (x+2) - \log (x^2+3)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+1} + \frac{2x}{x^2+1} - \frac{1}{x+2} - \frac{2x}{x^2+3}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)(x^2+1)}{(x+2)(x^2+3)} \left( \frac{1}{x+1} + \frac{2x}{x^2+1} - \frac{1}{x+2} - \frac{2x}{x^2+3} \right)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = x^{\cos x} \left( -\sin x \log x + \frac{\cos x}{x} \right)$

(2) $\frac{dy}{dx} = (\log x)^{1/x} \frac{1 - \log (\log x)}{x^2 \log x}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)(x^2+1)}{(x+2)(x^2+3)} \left( \frac{1}{x+1} + \frac{2x}{x^2+1} - \frac{1}{x+2} - \frac{2x}{x^2+3} \right)$