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与えられた極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} \frac{2x}{|x|}$

解析学極限絶対値右側極限左側極限
2025/5/16

1. 問題の内容

与えられた極限を求めます。
lim⁡x→02x∣x∣\lim_{x \to 0} \frac{2x}{|x|}

2. 解き方の手順

絶対値を含む関数の極限を求めるには、右側極限と左側極限を別々に計算し、それらが一致するかどうかを確認します。
まず、右側極限を計算します。x→0+x \to 0^+のとき、x>0x > 0なので、∣x∣=x|x| = xとなります。したがって、
lim⁡x→0+2x∣x∣=lim⁡x→0+2xx=lim⁡x→0+2=2\lim_{x \to 0^+} \frac{2x}{|x|} = \lim_{x \to 0^+} \frac{2x}{x} = \lim_{x \to 0^+} 2 = 2
次に、左側極限を計算します。x→0−x \to 0^-のとき、x<0x < 0なので、∣x∣=−x|x| = -xとなります。したがって、
lim⁡x→0−2x∣x∣=lim⁡x→0−2x−x=lim⁡x→0−−2=−2\lim_{x \to 0^-} \frac{2x}{|x|} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2x}{-x} = \lim_{x \to 0^-} -2 = -2
右側極限と左側極限が一致しないため、与えられた極限は存在しません。

3. 最終的な答え

極限は存在しない。

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