関数 $f(x) = \frac{1}{x-2}$ について、$x$ が $2$ に近づくときの極限を、左側から近づく場合 ($x \to 2-0$)、右側から近づく場合 ($x \to 2+0$)、および $x \to 2$ の場合についてそれぞれ調べる問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x-2}$ について、$x$ が $2$ に近づくときの極限を、左側から近づく場合 ($x \to 2-0$)、右側から近づく場合 ($x \to 2+0$)、および $x \to 2$ の場合についてそれぞれ調べる問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x \to 2-0$ の場合：

$x$ が $2$ より小さい値から $2$ に近づくとき、$x-2$ は負の値を取りながら $0$ に近づきます。したがって、$\frac{1}{x-2}$ は負の無限大に発散します。

$$\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2} = -\infty$$

(2) $x \to 2+0$ の場合：

$x$ が $2$ より大きい値から $2$ に近づくとき、$x-2$ は正の値を取りながら $0$ に近づきます。したがって、$\frac{1}{x-2}$ は正の無限大に発散します。

$$\lim_{x \to 2+0} \frac{1}{x-2} = +\infty$$

(3) $x \to 2$ の場合：

左側極限と右側極限が一致しないため、$x \to 2$ のときの極限は存在しません。

3. 最終的な答え

- $x \to 2-0$ のとき：$-\infty$

- $x \to 2+0$ のとき：$+\infty$

- $x \to 2$ のとき：極限は存在しない