$\lim_{x\to 0} \frac{\sin^{-1}(2x)}{\tan(3x)}$ を求めます。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin^{-1}(2x)}{\tan(3x)}$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\sin^{-1}(2x)$と$\tan(3x)$は$x \to 0$のとき、それぞれ$0$に近づくので、この極限は$\frac{0}{0}$の不定形です。ロピタルの定理を使うことができます。

ロピタルの定理を使う前に、$\sin^{-1}(2x) \approx 2x$　と $\tan(3x) \approx 3x$ (for $x \approx 0$) を使うことができます。

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin^{-1}(2x)}{\tan(3x)} = \lim_{x\to 0} \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$.

もしくは、ロピタルの定理を使うことを考えます。

$\frac{d}{dx} \sin^{-1}(2x) = \frac{2}{\sqrt{1 - (2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$

$\frac{d}{dx} \tan(3x) = 3 \sec^2(3x) = \frac{3}{\cos^2(3x)}$

したがって、ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin^{-1}(2x)}{\tan(3x)} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}}{\frac{3}{\cos^2(3x)}} = \lim_{x\to 0} \frac{2 \cos^2(3x)}{3 \sqrt{1-4x^2}}$.

$x \to 0$ のとき、$\cos^2(3x) \to \cos^2(0) = 1$ そして$\sqrt{1-4x^2} \to \sqrt{1-0} = 1$ なので、

$\lim_{x\to 0} \frac{2 \cos^2(3x)}{3 \sqrt{1-4x^2}} = \frac{2(1)}{3(1)} = \frac{2}{3}$.

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$