$a$ を実数の定数とする。不等式 $5x+3 \ge x+a$ (1) と $x-2 \ge 3x-a$ (2) について、以下の問いに答える。 (1) を満たす $x$ のうち、最小の整数が 2 である $a$ の値の範囲を求める。 (1) と (2) を同時に満たす $x$ のうち、整数が 2 だけである $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$a$ を実数の定数とする。不等式 $5x+3 \ge x+a$ (1) と $x-2 \ge 3x-a$ (2) について、以下の問いに答える。

(1) を満たす $x$ のうち、最小の整数が 2 である $a$ の値の範囲を求める。

(1) と (2) を同時に満たす $x$ のうち、整数が 2 だけである $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) の不等式を解くと、

$5x+3 \ge x+a$

$4x \ge a-3$

$x \ge \frac{a-3}{4}$

$x \ge \frac{a-3}{4}$ を満たす最小の整数が 2 であるから、

$1 < \frac{a-3}{4} \le 2$

$4 < a-3 \le 8$

$7 < a \le 11$

次に、(2) の不等式を解くと、

$x-2 \ge 3x-a$

$-2x \ge 2-a$

$2x \le a-2$

$x \le \frac{a-2}{2}$

(1) と (2) を同時に満たす $x$ の範囲は、

$\frac{a-3}{4} \le x \le \frac{a-2}{2}$

この範囲に含まれる整数が 2 だけであるためには、

$1 < \frac{a-3}{4} \le 2$ かつ $2 \le \frac{a-2}{2} < 3$ である必要がある。

$\frac{a-3}{4} > 1$ より $a > 7$

$\frac{a-3}{4} \le 2$ より $a \le 11$

$\frac{a-2}{2} \ge 2$ より $a \ge 6$

$\frac{a-2}{2} < 3$ より $a < 8$

よって、 $7 < a < 8$ である。

3. 最終的な答え

$7 < a \le 11$

$7 < a < 8$