(1) 曲線 $y = x^3 - 2x^2 - x + 2$ と $x$軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求めます。 (2) 曲線 $y = x^3 - 4x$ と曲線 $y = 3x^2$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y = x^3 - 2x^2 - x + 2$ と $x$軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求めます。

(2) 曲線 $y = x^3 - 4x$ と曲線 $y = 3x^2$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $y = x^3 - 2x^2 - x + 2$ と $x$軸との交点を求めます。

$y = x^3 - 2x^2 - x + 2 = x^2(x-2) - (x-2) = (x^2 - 1)(x - 2) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)$

よって、$x = -1, 1, 2$ で $x$軸と交わります。

したがって、面積 $S$ は以下の積分で計算できます。

$S = \int_{-1}^1 (x^3 - 2x^2 - x + 2) dx - \int_1^2 (x^3 - 2x^2 - x + 2) dx$

$= \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^1 - \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_1^2$

$= \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - 2 \right) - \left( \frac{16}{4} - \frac{16}{3} - \frac{4}{2} + 4 \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right)$

$= 2 \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( 4 - \frac{16}{3} - 2 + 4 \right)$

$= 2 \left( \frac{3 - 8 - 6 + 24}{12} \right) - \left( 6 - \frac{16}{3} \right)$

$= 2 \left( \frac{13}{12} \right) - \frac{18 - 16}{3}$

$= \frac{13}{6} - \frac{2}{3} = \frac{13 - 4}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

$\int_{-1}^1 (x^3-2x^2-x+2)dx = [\frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x]_{-1}^1 = (\frac{1}{4}-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}+2) - (\frac{1}{4}+\frac{2}{3}-\frac{1}{2}-2) = -\frac{4}{3} + 4 = \frac{8}{3}$

$\int_{1}^2 (x^3-2x^2-x+2)dx = [\frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x]_{1}^2 = (4-\frac{16}{3}-2+4) - (\frac{1}{4}-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}+2) = 6 - \frac{16}{3} - (\frac{3-8-6+24}{12}) = \frac{2}{3} - \frac{13}{12} = \frac{8-13}{12} = -\frac{5}{12}$

$S = \frac{8}{3} - (-\frac{5}{12}) = \frac{32+5}{12} = \frac{37}{12}$

(2) 曲線 $y = x^3 - 4x$ と $y = 3x^2$ の交点を求めます。

$x^3 - 4x = 3x^2$

$x^3 - 3x^2 - 4x = 0$

$x(x^2 - 3x - 4) = 0$

$x(x - 4)(x + 1) = 0$

よって、$x = -1, 0, 4$ で交わります。

面積 $S$ は以下の積分で計算できます。

$S = \int_{-1}^0 (x^3 - 4x - 3x^2) dx - \int_0^4 (x^3 - 4x - 3x^2) dx$

$= \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 - x^3 \right]_{-1}^0 - \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 - x^3 \right]_0^4$

$= 0 - \left( \frac{1}{4} - 2 + 1 \right) - \left( \frac{256}{4} - 32 - 64 \right) + 0$

$= - \left( \frac{1}{4} - 1 \right) - \left( 64 - 32 - 64 \right)$

$= -\frac{1}{4} + 1 - (-32)$

$= \frac{3}{4} + 32 = \frac{3 + 128}{4} = \frac{131}{4}$

$\int_{-1}^0 (x^3-3x^2-4x)dx = [\frac{x^4}{4}-x^3-2x^2]_{-1}^0 = 0-(\frac{1}{4}+1-2) = 0-(\frac{1+4-8}{4}) = \frac{3}{4}$

$\int_{0}^4 (x^3-3x^2-4x)dx = [\frac{x^4}{4}-x^3-2x^2]_{0}^4 = (\frac{256}{4}-64-32) - 0 = 64-64-32 = -32$

$S = |\frac{3}{4} - 32| = | \frac{3-128}{4}| = \frac{125}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{37}{12}$

(2) $S = \frac{125}{4}$