与えられた方程式 $5x^2 + 2xy + y^2 - 4x + 4y + 7 = 0$ の整数解 $(x, y)$ をすべて求める。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $5x^2 + 2xy + y^2 - 4x + 4y + 7 = 0$ の整数解 $(x, y)$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を $x$ について整理する。

$5x^2 + (2y-4)x + (y^2 + 4y + 7) = 0$

$x$ は整数なので、この $x$ についての二次方程式が実数解を持つためには、判別式 $D$ が $D \ge 0$ でなければならない。

$D = (2y-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (y^2 + 4y + 7)$

$D = 4y^2 - 16y + 16 - 20(y^2 + 4y + 7)$

$D = 4y^2 - 16y + 16 - 20y^2 - 80y - 140$

$D = -16y^2 - 96y - 124$

$D = -4(4y^2 + 24y + 31)$

$D \ge 0$ なので、

$-4(4y^2 + 24y + 31) \ge 0$

$4y^2 + 24y + 31 \le 0$

$4(y^2 + 6y) + 31 \le 0$

$4(y^2 + 6y + 9 - 9) + 31 \le 0$

$4(y+3)^2 - 36 + 31 \le 0$

$4(y+3)^2 \le 5$

$(y+3)^2 \le \frac{5}{4}$

$(y+3)^2 \le 1.25$

$y$ は整数なので、$y+3$ も整数。

$(y+3)^2$ が整数で $1.25$ 以下になるのは、

$(y+3)^2 = 0$ または $(y+3)^2 = 1$ の場合。

(1) $(y+3)^2 = 0$ のとき、 $y+3 = 0$ より $y = -3$.

これを $5x^2 + (2y-4)x + (y^2 + 4y + 7) = 0$ に代入すると、

$5x^2 + (2(-3)-4)x + ((-3)^2 + 4(-3) + 7) = 0$

$5x^2 - 10x + (9 - 12 + 7) = 0$

$5x^2 - 10x + 4 = 0$

この二次方程式の判別式は $D' = (-10)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 100 - 80 = 20 > 0$ なので、実数解を持つが、

$x = \frac{10 \pm \sqrt{20}}{10} = \frac{10 \pm 2\sqrt{5}}{10} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{5}$ となり、整数解ではない。

(2) $(y+3)^2 = 1$ のとき、$y+3 = \pm 1$ より $y = -2$ または $y = -4$.

$y = -2$ のとき、

$5x^2 + (2(-2) - 4)x + ((-2)^2 + 4(-2) + 7) = 0$

$5x^2 - 8x + (4 - 8 + 7) = 0$

$5x^2 - 8x + 3 = 0$

$(5x - 3)(x - 1) = 0$

$x = 1$ は整数解だが、$x = \frac{3}{5}$ は整数解ではない。

したがって $(x, y) = (1, -2)$ は整数解。

$y = -4$ のとき、

$5x^2 + (2(-4) - 4)x + ((-4)^2 + 4(-4) + 7) = 0$

$5x^2 - 12x + (16 - 16 + 7) = 0$

$5x^2 - 12x + 7 = 0$

$(5x - 7)(x - 1) = 0$

$x = 1$ は整数解だが、$x = \frac{7}{5}$ は整数解ではない。

したがって $(x, y) = (1, -4)$ は整数解。

3. 最終的な答え

$(x, y) = (1, -2), (1, -4)$