関数 $f(x) = x^{\frac{1}{3}}(1-x)^{\frac{2}{3}}$ （定義域は $0 < x < 1$） の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^{\frac{1}{3}}(1-x)^{\frac{2}{3}}$ （定義域は $0 < x < 1$） の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$を積の微分法を使って微分します。積の微分法は $(uv)' = u'v + uv'$です。

$u = x^{\frac{1}{3}}$, $v = (1-x)^{\frac{2}{3}}$とすると、

$u' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$, $v' = \frac{2}{3}(1-x)^{-\frac{1}{3}}(-1) = -\frac{2}{3}(1-x)^{-\frac{1}{3}}$

したがって、

$f'(x) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}}(-\frac{2}{3})(1-x)^{-\frac{1}{3}}$

$f'(x) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3}x^{\frac{1}{3}}(1-x)^{-\frac{1}{3}}$

$f'(x) = \frac{(1-x)^{\frac{2}{3}}}{3x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2x^{\frac{1}{3}}}{3(1-x)^{\frac{1}{3}}}$

$f'(x) = \frac{(1-x) - 2x}{3x^{\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{1}{3}}}$

$f'(x) = \frac{1-3x}{3x^{\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{1}{3}}}$

写真の解答はさらに計算を進めて、$x^{\frac{2}{3}}$を分母に残し、$f'(x)$の符号を決定しようとしているようです。

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{1-3x}{3x^{\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{1}{3}}}$