4次方程式 $x^4 - ax^3 - x^2 + 16x + b = 0$ が $x=1$ と $x=3$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値を求め、他の解を求める。

代数学4次方程式解の公式因数分解連立方程式
2025/5/17

1. 問題の内容

4次方程式 x4ax3x2+16x+b=0x^4 - ax^3 - x^2 + 16x + b = 0x=1x=1x=3x=3 を解にもつとき、定数 a,ba, b の値を求め、他の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) x=1x=1x=3x=3 が解であるから、それぞれ方程式に代入する。
x=1x=1 を代入すると、
14a(1)312+16(1)+b=01^4 - a(1)^3 - 1^2 + 16(1) + b = 0
1a1+16+b=01 - a - 1 + 16 + b = 0
a+b=16-a + b = -16
x=3x=3 を代入すると、
34a(3)332+16(3)+b=03^4 - a(3)^3 - 3^2 + 16(3) + b = 0
8127a9+48+b=081 - 27a - 9 + 48 + b = 0
27a+b=120-27a + b = -120
連立方程式を解く:
$\begin{cases}
-a + b = -16 \\
-27a + b = -120
\end{cases}$
(2番目の式) - (1番目の式)より、
(27a+b)(a+b)=120(16)(-27a + b) - (-a + b) = -120 - (-16)
26a=104-26a = -104
a=4a = 4
a=4a=4a+b=16-a+b=-16 に代入すると、
4+b=16-4 + b = -16
b=12b = -12
したがって、a=4,b=12a=4, b=-12 となる。
(2) 与えられた4次方程式は x44x3x2+16x12=0x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12 = 0 となる。x=1,x=3x=1, x=3 を解にもつので、(x1)(x3)=x24x+3(x-1)(x-3) = x^2 - 4x + 3 で割り切れる。
実際に割り算を行うと、
x44x3x2+16x12=(x24x+3)(x24)=(x1)(x3)(x2)(x+2)x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12 = (x^2 - 4x + 3)(x^2 - 4) = (x-1)(x-3)(x-2)(x+2)
よって、(x1)(x3)(x2)(x+2)=0(x-1)(x-3)(x-2)(x+2) = 0 を解くと、x=1,3,2,2x = 1, 3, 2, -2
したがって、他の解は x=2,2x = 2, -2

3. 最終的な答え

(1) a=4a = 4, b=12b = -12
(2) 他の解: x=2,2x = 2, -2

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