4次方程式 $x^4 - ax^3 - x^2 + 16x + b = 0$ が $x=1$ と $x=3$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値を求め、他の解を求める。

1. 問題の内容

4次方程式 $x^4 - ax^3 - x^2 + 16x + b = 0$ が $x=1$ と $x=3$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値を求め、他の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x=1$ と $x=3$ が解であるから、それぞれ方程式に代入する。

$x=1$ を代入すると、

$1^4 - a(1)^3 - 1^2 + 16(1) + b = 0$

$1 - a - 1 + 16 + b = 0$

$-a + b = -16$

$x=3$ を代入すると、

$3^4 - a(3)^3 - 3^2 + 16(3) + b = 0$

$81 - 27a - 9 + 48 + b = 0$

$-27a + b = -120$

連立方程式を解く:

$\begin{cases}

-a + b = -16 \\

-27a + b = -120

\end{cases}$

(2番目の式) - (1番目の式)より、

$(-27a + b) - (-a + b) = -120 - (-16)$

$-26a = -104$

$a = 4$

$a=4$ を $-a+b=-16$ に代入すると、

$-4 + b = -16$

$b = -12$

したがって、$a=4, b=-12$ となる。

(2) 与えられた4次方程式は $x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12 = 0$ となる。$x=1, x=3$ を解にもつので、$(x-1)(x-3) = x^2 - 4x + 3$ で割り切れる。

実際に割り算を行うと、

$x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12 = (x^2 - 4x + 3)(x^2 - 4) = (x-1)(x-3)(x-2)(x+2)$

よって、$(x-1)(x-3)(x-2)(x+2) = 0$ を解くと、$x = 1, 3, 2, -2$。

したがって、他の解は $x = 2, -2$。

3. 最終的な答え

(1) $a = 4$, $b = -12$

(2) 他の解: $x = 2, -2$