全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$、部分集合 $B = \{3, 4, 5, 6\}$ が与えられています。 以下の集合を求めます。 (1) $\overline{A}$ (2) $\overline{B}$ (3) $\overline{A \cup B}$ (4) $A \cap \overline{A}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$、部分集合 $B = \{3, 4, 5, 6\}$ が与えられています。

以下の集合を求めます。

(1) $\overline{A}$

(2) $\overline{B}$

(3) $\overline{A \cup B}$

(4) $A \cap \overline{A}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$ は $A$ の補集合であり、$U$ の中で $A$ に含まれない要素の集合です。

つまり、$\overline{A} = U - A$ です。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, $A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ より、$\overline{A} = \{4, 6\}$。

(2) $\overline{B}$ は $B$ の補集合であり、$U$ の中で $B$ に含まれない要素の集合です。

つまり、$\overline{B} = U - B$ です。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$ より、$\overline{B} = \{1, 2, 7\}$。

(3) $\overline{A \cup B}$ を求めるために、まず $A \cup B$ を求めます。

$A \cup B$ は $A$ と $B$ の和集合であり、$A$ と $B$ の両方にある要素の集合です。

$A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$ より、$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} = U$。

したがって、$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = U - U = \emptyset$ (空集合)。

(4) $A \cap \overline{A}$ を求めます。

$A \cap \overline{A}$ は $A$ と $\overline{A}$ の共通部分であり、$A$ と $\overline{A}$ の両方にある要素の集合です。

$A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$, $\overline{A} = \{4, 6\}$ より、$A \cap \overline{A} = \emptyset$ (空集合)。

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{4, 6\}$

(2) $\overline{B} = \{1, 2, 7\}$

(3) $\overline{A \cup B} = \emptyset$

(4) $A \cap \overline{A} = \emptyset$