右の地図にあるI, T, S, Aの4つの県を、赤、青、黄、緑の4色を使って塗り分ける方法について、以下の条件を満たす場合の数を求めます。ただし、隣り合う県は異なる色で塗る必要があります。 (1) 4色すべてを使う場合 (2) 赤、青、黄の3色を使う場合 (3) 4色以下で塗り分ける場合

はい、承知いたしました。画像の問題12を解きます。

1. 問題の内容

右の地図にあるI, T, S, Aの4つの県を、赤、青、黄、緑の4色を使って塗り分ける方法について、以下の条件を満たす場合の数を求めます。ただし、隣り合う県は異なる色で塗る必要があります。

(1) 4色すべてを使う場合

(2) 赤、青、黄の3色を使う場合

(3) 4色以下で塗り分ける場合

2. 解き方の手順

まず、各県の塗り方を考える上で、最も多くの県と隣り合っているTから色を決めていくのが効率的です。

(1) 4色すべてを使う場合

* Tの色を4色から1色選びます。選び方は4通り。

* Iの色を、Tで選んだ色以外の3色から選びます。選び方は3通り。

* Aの色を、Tで選んだ色以外の3色から選びます。選び方は3通り。

* Sの色を、T, I, Aの色以外の1色に決めます。選び方は1通り。

よって、4色すべてを使う場合の数は、

$4 \times 3 \times 3 \times 1 = 36$通り。

(2) 赤、青、黄の3色を使う場合

* Tの色を3色から1色選びます。選び方は3通り。

* Iの色を、Tで選んだ色以外の2色から選びます。選び方は2通り。

* Aの色を、Tで選んだ色以外の2色から選びます。選び方は2通り。

* IとAの色が異なる場合：SはT, I, Aと異なる色で塗る必要があるので、残りの1色で塗る必要があります。この場合の塗り方は$3 \times 2 \times 1 \times 1 = 6$ 通り。

* IとAの色が同じ場合：SはTとI (またはA)と異なる色で塗る必要があるので、Sの色の選び方は1通りになります。この場合の塗り方は$3 \times 2 \times 1 \times 1 = 6$通り。

よって、3色すべてを使う場合の数は、

$3 \times 2 \times 2 = 12$通り。

*注：SはIとAの色が異なる場合に、使用可能です。つまりIとAの色は異なる必要があります。

T, I, A は異なる色である必要があるので、$3 \times 2 \times 1$の組み合わせが成り立ちます。したがってSの色は自動的に決まるので1通りとなります。*

(3) 4色以下で塗り分ける場合

4色すべてを使う場合と、3色すべてを使う場合と、2色で塗り分ける場合を考えます。

* 2色で塗り分ける場合：これは不可能です。なぜなら、Tに色を塗った場合、IとAはTと異なる色で塗る必要があります。しかし、IとAが同じ色の場合、SはIとAと異なる色で塗る必要があるので、最低3色必要になります。

隣り合う県は異なる色で塗る必要があるので、2色で塗り分けることは不可能です。

したがって、4色以下で塗り分ける場合の数は、4色すべてを使う場合と3色を使う場合の合計になります。

$36 + 12 = 48$通り。

3. 最終的な答え

(1) 4色すべてを使う場合：36通り

(2) 赤、青、黄の3色を使う場合：12通り

(3) 4色以下で塗り分ける場合：48通り