与えられた図において、AからBへ最短経路で移動する方法について、以下の3つの場合について総数を求めます。 (1) AからBまで行く。 (2) AからCを通ってBまで行く。 (3) AからCを通らずにBまで行く。

1. 問題の内容

与えられた図において、AからBへ最短経路で移動する方法について、以下の3つの場合について総数を求めます。

(1) AからBまで行く。

(2) AからCを通ってBまで行く。

(3) AからCを通らずにBまで行く。

2. 解き方の手順

(1) AからBまで行く。

AからBまでの最短経路は、右に5回、下に4回移動することで達成されます。したがって、全部で9回の移動のうち、どちらを先に選ぶかの組み合わせを考えることで、最短経路の総数を求めることができます。これは組み合わせの問題として考えることができ、${}_9 C_5$ または ${}_9 C_4$ で計算できます。

${}_9 C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

(2) AからCを通ってBまで行く。

AからCまでの最短経路と、CからBまでの最短経路をそれぞれ求め、それらの積を計算します。

AからCまでの最短経路は、右に1回、下に2回移動します。これは${}_3 C_1 = \frac{3!}{1!2!} = 3$通りです。

CからBまでの最短経路は、右に4回、下に2回移動します。これは${}_6 C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通りです。

したがって、AからCを通ってBまで行く最短経路の総数は $3 \times 15 = 45$通りです。

(3) AからCを通らずにBまで行く。

AからBまでの最短経路の総数から、AからCを通ってBまで行く最短経路の総数を引くことで求めることができます。

したがって、AからCを通らずにBまで行く最短経路の総数は $126 - 45 = 81$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 126通り

(2) 45通り

(3) 81通り