与えられた方程式 $x + y + z = 11$ に対して、以下の2つの条件における整数の解の組の数を求める問題です。 (1) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $z \geq 0$ (2) $x \geq 2$, $y \geq 1$, $z \geq 0$

1. 問題の内容

与えられた方程式 $x + y + z = 11$ に対して、以下の2つの条件における整数の解の組の数を求める問題です。

(1) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $z \geq 0$

(2) $x \geq 2$, $y \geq 1$, $z \geq 0$

2. 解き方の手順

(1) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $z \geq 0$ の場合：

これは典型的な重複組み合わせの問題です。$x, y, z$ は非負の整数であるため、11個のものを3種類に分ける場合の数を求めればよいことになります。

重複組み合わせの公式を使うと、

$_{n}H_{r} = _{n+r-1}C_{r}$

今回の場合は、$n = 3$ (変数の種類) で、$r = 11$ (合計の値) なので、

$_{3}H_{11} = _{3+11-1}C_{11} = _{13}C_{11} = _{13}C_{2} = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 13 \times 6 = 78$

したがって、(1) の場合の解の組の数は78個です。

(2) $x \geq 2$, $y \geq 1$, $z \geq 0$ の場合：

この場合は、$x, y$ にそれぞれ条件が付いています。そこで、$x' = x - 2$, $y' = y - 1$ とおくと、$x' \geq 0$, $y' \geq 0$ となります。

元の式に代入すると、

$(x' + 2) + (y' + 1) + z = 11$

$x' + y' + z = 11 - 2 - 1$

$x' + y' + z = 8$

ここで、$x' \geq 0$, $y' \geq 0$, $z \geq 0$ なので、再び重複組み合わせの公式を使うことができます。

$_{n}H_{r} = _{n+r-1}C_{r}$

今回は、$n = 3$ で、$r = 8$ なので、

$_{3}H_{8} = _{3+8-1}C_{8} = _{10}C_{8} = _{10}C_{2} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 5 \times 9 = 45$

したがって、(2) の場合の解の組の数は45個です。

3. 最終的な答え

(1) 78

(2) 45