束に関する以下の2つの問題を解きます。 1. 束の公理を用いて $a \vee a = a$ を示す。

1. 問題の内容

束に関する以下の2つの問題を解きます。

1. 束の公理を用いて $a \vee a = a$ を示す。

2. 束L上の演算 $ \vee $ によって定義される関係「$a, b \in L, a \vee b = b$ ならば $a \leq b$」が半順序関係となることを示す。

2. 解き方の手順

1. $a \vee a = a$ を示す。

束の公理には、冪等律が含まれます。冪等律は $a \vee a = a$ と $a \wedge a = a$ を満たすことを意味します。したがって、束の公理より、$a \vee a = a$ は自明に成り立ちます。

2. 関係「$a, b \in L, a \vee b = b$ ならば $a \leq b$」が半順序関係となることを示す。

半順序関係であるためには、以下の3つの性質を満たす必要があります。

* 反射律: 任意の $a \in L$ に対して $a \leq a$

* 反対称律: 任意の $a, b \in L$ に対して $a \leq b$ かつ $b \leq a$ ならば $a = b$

* 推移律: 任意の $a, b, c \in L$ に対して $a \leq b$ かつ $b \leq c$ ならば $a \leq c$

* 反射律:

$a \vee a = a$ （冪等律）が成り立つので、定義より $a \leq a$ となります。

* 反対称律:

$a \leq b$ かつ $b \leq a$ を仮定します。これは $a \vee b = b$ かつ $b \vee a = a$ を意味します。

束の公理より交換律が成り立つので、$a \vee b = b \vee a$。

したがって、$a = b \vee a = a \vee b = b$ となり、$a = b$ が示されます。

* 推移律:

$a \leq b$ かつ $b \leq c$ を仮定します。これは $a \vee b = b$ かつ $b \vee c = c$ を意味します。

$a \vee c = a \vee (b \vee c) = (a \vee b) \vee c = b \vee c = c$ （結合律を使用）

したがって、$a \vee c = c$ より $a \leq c$ が示されます。

以上の3つの性質が成り立つため、関係「$a, b \in L, a \vee b = b$ ならば $a \leq b$」は半順序関係です。

3. 最終的な答え

1. $a \vee a = a$

2. 関係「$a, b \in L, a \vee b = b$ ならば $a \leq b$」は半順序関係である。