問題155：1, 1, 2, 2, 3, 3という6つの数字を1列に並べる。 (1) 相異なる並べ方は全部で何通りあるか。 (2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。 問題156：正八角形がある。その3個の頂点を結んで作られる三角形のうち、次の三角形は全部で何個あるか。 (1) 正八角形と2辺を共有する。 (2) 正八角形と辺を共有しない。

1. 問題の内容

問題155：1, 1, 2, 2, 3, 3という6つの数字を1列に並べる。

(1) 相異なる並べ方は全部で何通りあるか。

(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

問題156：正八角形がある。その3個の頂点を結んで作られる三角形のうち、次の三角形は全部で何個あるか。

(1) 正八角形と2辺を共有する。

(2) 正八角形と辺を共有しない。

2. 解き方の手順

問題155

(1) 6つの数字を並べる総数は、同じ数字があるため、重複順列として計算します。

全体の並べ方は $6!$ 通りですが、1が2つ、2が2つ、3が2つあるので、それぞれで割る必要があります。

したがって、異なる並べ方の総数は、

$\frac{6!}{2!2!2!} = \frac{720}{8} = 90$ 通りです。

(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方を求めます。

まず、1, 2, 3を並べることを考えます。これらは $3! = 6$通りです。

例えば、1 2 3と並んだとすると、その間に、もしくは端に、残りの1, 2, 3を挿入します。

\_ 1 \_ 2 \_ 3 \_

のように4つの場所に、1, 2, 3を挿入します。ただし、同じ数字は隣り合わないようにします。

まず、1を挿入する場所を決めます。

1を挿入する場所は4つあります。次に、2を挿入する場所を決めます。2は、1を挿入した場所と隣り合わないようにする必要があります。

そして、最後に3を挿入する場所を決めます。

この計算は難しいので、包除原理を使う方が簡単です。

全体から同じ数字が隣り合う場合を引きます。

全体は90通りです。

1, 2, 3の少なくとも1組が隣り合う場合の数を考えます。

1組が隣り合う場合：例えば、11, 2, 2, 3, 3を並べる。これは $\frac{5!}{2!2!} \times 3 = 30 \times 3 = 90$通り。

2組が隣り合う場合：例えば、11, 22, 3, 3を並べる。これは $\frac{4!}{2!} \times 3 = 12 \times 3 = 36$通り。

3組が隣り合う場合：例えば、11, 22, 33を並べる。これは $3! = 6$通り。

包除原理より、$90 - 90 + 36 - 6 = 30$通りとなります。

したがって、$90 - 30 = 30$となります。

問題156

(1) 正八角形と2辺を共有する三角形は、正八角形の隣り合う3つの頂点を選ぶことになります。

正八角形の頂点は8つなので、共有する2辺は8通りです。

(2) 正八角形と辺を共有しない三角形を求めます。

正八角形の頂点から3つ選ぶ方法は $_8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通りです。

このうち、1辺だけを共有する三角形の数を求めます。

1辺を共有する場合、共有する辺の両端の頂点は確定します。残りの1つの頂点は、隣り合う頂点を除いた4箇所から選べます。

辺は8本あるので、 $8 \times 4 = 32$ 通りです。

2辺を共有するのは(1)より8通りです。

したがって、辺を共有しない三角形の数は、

$56 - 32 - 8 = 16$ 通りです。

3. 最終的な答え

問題155

(1) 90通り

(2) 30通り

問題156

(1) 8個

(2) 16個