束に関する以下の2つの問題を解きます。 1. 束の公理を用いて $a \vee a = a$ を示す。

1. 問題の内容

束に関する以下の2つの問題を解きます。

1. 束の公理を用いて $a \vee a = a$ を示す。

2. 束 $L$ 上の演算 $\vee$ によって定義される関係「$a, b \in L, a \vee b = b$ ならば $a \leq b$」が半順序関係となることを示す。

2. 解き方の手順

1. $a \vee a = a$ の証明

束の公理であるべき等律 $a \vee a = a$ を用いることで、これは直接的に示されます。

2. 半順序関係であることの証明

半順序関係であるためには、以下の3つの性質を満たす必要があります。

* 反射律: $a \leq a$ が成り立つ。

* 反対称律: $a \leq b$ かつ $b \leq a$ ならば $a = b$ が成り立つ。

* 推移律: $a \leq b$ かつ $b \leq c$ ならば $a \leq c$ が成り立つ。

(1) 反射律:

$a \vee a = a$ であることから、定義より $a \leq a$ が成り立つ。

(2) 反対称律:

$a \leq b$ かつ $b \leq a$ を仮定します。このとき、$a \vee b = b$ かつ $b \vee a = a$ が成り立ちます。

束の公理である交換律 $a \vee b = b \vee a$ を用いると、

$a \vee b = b \vee a$ より、$b = a$ となります。

(3) 推移律:

$a \leq b$ かつ $b \leq c$ を仮定します。このとき、$a \vee b = b$ かつ $b \vee c = c$ が成り立ちます。

$a \vee c = a \vee (b \vee c) = (a \vee b) \vee c = b \vee c = c$

したがって、$a \vee c = c$ なので、$a \leq c$ が成り立ちます。

以上より、反射律、反対称律、推移律が成り立つため、与えられた関係は半順序関係となります。

3. 最終的な答え

1. $a \vee a = a$

2. 与えられた関係は半順序関係である。