(1) 0, 1, 1, 2, 3 を使って 5 桁の整数を作るとき、何通りの数字ができるか。 (2) 75 名のクラスで、2 回の工場見学を行った。 1 回目の見学者は 26 名、2 回目の見学者は 32 名であり、2 回とも不参加であった者も 27 名いた。 (i) 2 回とも参加したのは何名か。 (ii) 1 回だけ参加したのは何名か。 (3) 次の値を求めよ。 (i) $_{10}P_3$ (ii) 7! (iii) $_{10}C_3$ (iv) $_{15}C_2$ (v) $_{12}C_{10}$ (4) 立方体の六つの面を 6 色の異なる色を使って塗るとき、何通りの塗り方ができるか。ただし、立方体を回転させたときに一致する塗り方は同じとみなす。 (5) 12 冊の本を次のように分ける方法は何通りあるか。 (i) 5 冊, 4 冊, 3 冊に分ける。 (ii) 6 冊, 3 冊, 3 冊に分ける。 (6) 正十二角形の三つの頂点を結んで三角形をつくる。 (i) 全部で何個の三角形ができるか。 (ii) 正十二角形と辺を共有しない三角形は何個できるか。

1. 問題の内容

(1) 0, 1, 1, 2, 3 を使って 5 桁の整数を作るとき、何通りの数字ができるか。

(2) 75 名のクラスで、2 回の工場見学を行った。 1 回目の見学者は 26 名、2 回目の見学者は 32 名であり、2 回とも不参加であった者も 27 名いた。

(i) 2 回とも参加したのは何名か。

(ii) 1 回だけ参加したのは何名か。

(3) 次の値を求めよ。

(i) $_{10}P_3$

(ii) 7!

(iii) $_{10}C_3$

(iv) $_{15}C_2$

(v) $_{12}C_{10}$

(4) 立方体の六つの面を 6 色の異なる色を使って塗るとき、何通りの塗り方ができるか。ただし、立方体を回転させたときに一致する塗り方は同じとみなす。

(5) 12 冊の本を次のように分ける方法は何通りあるか。

(i) 5 冊, 4 冊, 3 冊に分ける。

(ii) 6 冊, 3 冊, 3 冊に分ける。

(6) 正十二角形の三つの頂点を結んで三角形をつくる。

(i) 全部で何個の三角形ができるか。

(ii) 正十二角形と辺を共有しない三角形は何個できるか。

2. 解き方の手順

(1) 5 桁の整数を作る問題

* 千の位には 0 が入らないので、千の位に入る数字は 1, 2, 3 のいずれか。

* 千の位が 1 の場合：残りの 4 桁は 0, 1, 2, 3 。並び方は $\frac{4!}{1!} = 24$ 通り。

* 千の位が 2 の場合：残りの 4 桁は 0, 1, 1, 3 。並び方は $\frac{4!}{2!} = 12$ 通り。

* 千の位が 3 の場合：残りの 4 桁は 0, 1, 1, 2 。並び方は $\frac{4!}{2!} = 12$ 通り。

* 合計は $24 + 12 + 12 = 48$ 通り。

(2) 工場見学の問題

* クラスの人数は 75 名。

* 1 回目の参加者は 26 名、2 回目の参加者は 32 名、2 回とも不参加者は 27 名。

* 全体 = 1 回目のみ + 2 回目のみ + 2 回とも + 2 回とも不参加

* 75 = (26 - x) + (32 - x) + x + 27

* $75 = 26 - x + 32 - x + x + 27$

* $75 = 85 - x$

* $x = 10$

* (i) 2 回とも参加したのは 10 名。

* (ii) 1 回だけ参加したのは (26 - 10) + (32 - 10) = 16 + 22 = 38 名。

(3) 順列と組み合わせの計算

* (i) $_{10}P_3 = 10 \times 9 \times 8 = 720$

* (ii) $7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

* (iii) $_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120$

* (iv) $_{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = \frac{210}{2} = 105$

* (v) $_{12}C_{10} = _{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = \frac{132}{2} = 66$

(4) 立方体の塗り分けの問題

* まず、1 つの面の色を固定する (6 通りのうち 1 つ)。

* 反対側の面は残りの 5 色から 1 色を選ぶ (5 通り)。

* 残りの 4 つの側面は円順列になるので、(4-1)! = 3! = 6 通り。

* したがって、塗り方は $5 \times 6 = 30$ 通り。

(5) 本の分け方の問題

* (i) 5 冊, 4 冊, 3 冊に分ける。

* $_{12}C_5 \times _7C_4 \times _3C_3 = \frac{12!}{5!7!} \times \frac{7!}{4!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{12!}{5!4!3!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1} = 12 \times 11 \times 5 \times 3 \times 2 \times 7 = 27720 / (6 \times 24)= 27720/144 = 27720$

* $_{12}C_5 \times _7C_4 \times _3C_3 = 792 \times 35 \times 1 = 27720$ 通り。

* (ii) 6 冊, 3 冊, 3 冊に分ける。

* $_{12}C_6 \times _6C_3 \times _3C_3 / 2! = \frac{12!}{6!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{1}{2} = \frac{12!}{6!3!3!2!} = (924 \times 20) / 2 = 9240$ 通り。

(6) 正十二角形の問題

* (i) 全部で何個の三角形ができるか。

* $_{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$ 個。

* (ii) 正十二角形と辺を共有しない三角形は何個できるか。

* 全体の三角形の数 - 1 辺を共有する三角形の数 - 2 辺を共有する三角形の数

* 1 辺を共有する三角形: 12 * (12 - 4) = 12 * 8 = 96

ただし、重複をなくすため96/2=48と考えることもできる

*　 12 * (12 - 4) = 96通り

* 2辺を共有する三角形の数：12

* 220 -96 -12 = 112 (96を12として考える場合　220-48-12=160となる

* 全体数−１辺共有−２辺共有＝２２０−１２×８−１２＝１１２

*１辺の共有＝12本の辺それぞれに対して、その辺に隣り合わない頂点を選ぶことになる。隣り合わない頂点は8個あるので、12×8=96個

*２辺の共有＝正十二角形の頂点を3つ選んで三角形を作る時、隣り合った頂点を選ぶと正十二角形の辺を共有する。頂点が12個なので12通り

*220-96-12=112

3. 最終的な答え

(1) 48 通り

(2) (i) 10 名 (ii) 38 名

(3) (i) 720 (ii) 5040 (iii) 120 (iv) 105 (v) 66

(4) 30 通り

(5) (i) 27720 通り (ii) 9240 通り

(6) (i) 220 個 (ii) 112 個