放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ と $x$ 軸、および直線 $x = 4$ で囲まれた2つの部分の面積の和を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ と $x$ 軸、および直線 $x = 4$ で囲まれた2つの部分の面積の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ と $x$ 軸との交点を求めます。

$y = 0$ とおくと、

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x - 1)(x - 3) = 0$

よって、$x = 1, 3$ です。

したがって、放物線は $x$ 軸と $(1, 0)$ と $(3, 0)$ で交わります。

次に、積分範囲を考えます。$x = 1$ から $x = 3$ の範囲では、$y \leq 0$ であることに注意します。

$x = 3$ から $x = 4$ の範囲では、$y \geq 0$ であることに注意します。

$x = 1$ から $x = 3$ の範囲の面積 $S_1$ は、

$S_1 = -\int_1^3 (x^2 - 4x + 3) dx$

$S_1 = -\left[ \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x \right]_1^3$

$S_1 = -\left[ (\frac{1}{3}(3)^3 - 2(3)^2 + 3(3)) - (\frac{1}{3}(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1)) \right]$

$S_1 = -\left[ (9 - 18 + 9) - (\frac{1}{3} - 2 + 3) \right]$

$S_1 = -\left[ 0 - (\frac{1}{3} + 1) \right]$

$S_1 = \frac{4}{3}$

$x = 3$ から $x = 4$ の範囲の面積 $S_2$ は、

$S_2 = \int_3^4 (x^2 - 4x + 3) dx$

$S_2 = \left[ \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x \right]_3^4$

$S_2 = \left[ (\frac{1}{3}(4)^3 - 2(4)^2 + 3(4)) - (\frac{1}{3}(3)^3 - 2(3)^2 + 3(3)) \right]$

$S_2 = \left[ (\frac{64}{3} - 32 + 12) - (9 - 18 + 9) \right]$

$S_2 = \left[ (\frac{64}{3} - 20) - 0 \right]$

$S_2 = \frac{64 - 60}{3} = \frac{4}{3}$

したがって、求める面積の和は、

$S = S_1 + S_2 = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{3}$