袋の中に赤球30個、白球70個、合計100個の球が入っている。 (1) この袋から球を1つずつ60個取り出し、取り出した球は毎回袋に戻す。このとき、取り出した60個の球に含まれる赤球の個数をXとする。Xの期待値を求める。 (2) この袋から球を1つずつ60個取り出し、取り出した球は袋に戻さない。このとき、取り出した60個の球に含まれる赤球の個数をYとする。Yの期待値を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤球30個、白球70個、合計100個の球が入っている。

(1) この袋から球を1つずつ60個取り出し、取り出した球は毎回袋に戻す。このとき、取り出した60個の球に含まれる赤球の個数をXとする。Xの期待値を求める。

(2) この袋から球を1つずつ60個取り出し、取り出した球は袋に戻さない。このとき、取り出した60個の球に含まれる赤球の個数をYとする。Yの期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

球を1つ取り出すとき、赤球である確率は $\frac{30}{100} = \frac{3}{10}$ である。

取り出した球は毎回袋に戻すので、各試行は独立である。

したがって、Xは二項分布 $B(60, \frac{3}{10})$ に従う。

二項分布の期待値は、$E(X) = np$ で求められる。

ここで、$n=60$、$p=\frac{3}{10}$ なので、

$E(X) = 60 \times \frac{3}{10} = 18$

(2)

袋に戻さない場合、Yは超幾何分布に従う。

超幾何分布の期待値も、$E(Y) = np$ で求められる。

ここで、$n=60$、$p=\frac{30}{100} = \frac{3}{10}$ なので、

$E(Y) = 60 \times \frac{3}{10} = 18$

3. 最終的な答え

(1) Xの期待値は 18

(2) Yの期待値は 18