媒介変数 $t$ を用いて、$x = \sin t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) と表される曲線について、以下の問いに答えます。 (1) この曲線の概形を描きます。 (2) この曲線と$x$軸で囲まれた図形$D$を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求めます。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて、$x = \sin t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) と表される曲線について、以下の問いに答えます。

(1) この曲線の概形を描きます。

(2) この曲線と$x$軸で囲まれた図形$D$を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 曲線の概形を描く

まず、$t$ の値をいくつか代入して、$x$ と $y$ の値を求めます。

* $t = 0$ のとき、$x = \sin 0 = 0$, $y = \sin 0 = 0$

* $t = \frac{\pi}{6}$ のとき、$x = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, $y = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

* $t = \frac{\pi}{4}$ のとき、$x = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $y = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

* $t = \frac{\pi}{3}$ のとき、$x = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $y = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

* $t = \frac{\pi}{2}$ のとき、$x = \sin \frac{\pi}{2} = 1$, $y = \sin \pi = 0$

これらの点を結ぶことで、曲線の概形を描けます。

また、$y = \sin 2t = 2 \sin t \cos t = 2x \sqrt{1-x^2}$であることも参考にしてください。

(2) 回転体の体積 $V$ を求める

回転体の体積は、以下の式で求められます。

$V = \pi \int_a^b y^2 dx$

ここで、$a$ と $b$ は $x$ の積分範囲です。この場合、$x$ は 0 から 1 まで変化します。

$dx$ を $dt$ で表すと、$x = \sin t$ より、$dx = \cos t dt$ となります。

$y = \sin 2t$ であり、$x$ の積分範囲が $0 \le x \le 1$ なので、$t$ の積分範囲は $0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ です。

したがって、

$V = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin 2t)^2 \cos t dt$

$= \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2 \sin t \cos t)^2 \cos t dt$

$= 4\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t \cos^3 t dt$

$= 4\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t (1 - \sin^2 t) \cos t dt$

ここで、$u = \sin t$ とおくと、$du = \cos t dt$ となり、積分範囲は $0 \le u \le 1$ となります。

$V = 4\pi \int_0^1 u^2 (1 - u^2) du$

$= 4\pi \int_0^1 (u^2 - u^4) du$

$= 4\pi \left[ \frac{1}{3} u^3 - \frac{1}{5} u^5 \right]_0^1$

$= 4\pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right)$

$= 4\pi \left( \frac{5-3}{15} \right)$

$= 4\pi \left( \frac{2}{15} \right)$

$= \frac{8\pi}{15}$

3. 最終的な答え

(1) 曲線の概形：$x = \sin t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) より、$0 \le x \le 1$ であり、$x=0$ のとき $y=0$、$x=1$ のとき $y=0$ である。また、$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき $y=1$ となる。

(2) 回転体の体積 $V$: $\frac{8\pi}{15}$