3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 3kx - 1$ をその導関数 $f'(x)$ で割ったときの商と余りを求める問題です。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 3kx - 1$ をその導関数 $f'(x)$ で割ったときの商と余りを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 3k$

次に、$f(x)$ を $f'(x)$ で割ります。

割り算を実行するために、まず $f'(x)$ を3で割って $x^2 - 2x - k$ とします。

その後、$f(x) = x^3 - 3x^2 - 3kx - 1$ を $x^2 - 2x - k$ で割ります。

割り算を実行すると、以下のようになります。

```

x - 1

x^2-2x-k | x^3 - 3x^2 - 3kx - 1

x^3 - 2x^2 - kx

----------------

-x^2 - 2kx - 1

-x^2 + 2x + k

----------------

-2kx - 2x - k - 1

```

したがって、$f(x) = (x^2 - 2x - k)(x - 1) + (-2(k+1)x - k - 1)$ となります。

$f(x)$ を $f'(x)$ で割ると、$f(x) = \frac{1}{3}f'(x)(x-1) + (-2(k+1)x - k - 1)$ となります。

商は $\frac{1}{3}(x-1)$ で、余りは $-2(k+1)x - (k+1)$ となります。

3. 最終的な答え

商: $\frac{1}{3}(x-1)$

余り: $-2(k+1)x - (k+1)$