極限 $\lim_{n \to \infty} (\frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + \frac{3^2}{n^3} + \cdots + \frac{n^2}{n^3})$ を区分求積法の原理を用いて求めます。

## 問題5

1. 問題の内容

極限 $\lim_{n \to \infty} (\frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + \frac{3^2}{n^3} + \cdots + \frac{n^2}{n^3})$ を区分求積法の原理を用いて求めます。

2. 解き方の手順

与えられた極限をシグマ記号を使って書き換えます。

$\lim_{n \to \infty} (\frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + \frac{3^2}{n^3} + \cdots + \frac{n^2}{n^3}) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{n^3}$

ここで、$\frac{1}{n}$ をくくり出すと、

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (\frac{k}{n})^2$

この式は、関数 $f(x) = x^2$ の区間 $[0, 1]$ における定積分を区分求積法で近似したものです。したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (\frac{k}{n})^2 = \int_{0}^{1} x^2 dx$

定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} x^2 dx = [\frac{1}{3}x^3]_{0}^{1} = \frac{1}{3}(1^3 - 0^3) = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$

## 問題6

1. 問題の内容

極限 $\lim_{n \to \infty} (\frac{\sqrt{1}}{n\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{2}}{n\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{3}}{n\sqrt{n}} + \cdots + \frac{\sqrt{n}}{n\sqrt{n}})$ を区分求積法の原理を用いて求めます。

2. 解き方の手順

与えられた極限をシグマ記号を使って書き換えます。

$\lim_{n \to \infty} (\frac{\sqrt{1}}{n\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{2}}{n\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{3}}{n\sqrt{n}} + \cdots + \frac{\sqrt{n}}{n\sqrt{n}}) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}}$

ここで、$n\sqrt{n} = n^{3/2} = n \cdot \sqrt{n}$ なので、$n$をシグマの外に出し、$\sqrt{n}$をシグマの中にいれます。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{n^2 \cdot n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k/n}}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{k}{n}} \frac{1}{\sqrt{n}}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k}}{n^{3/2}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{k}}{n^{3/2}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{n^3}}$

$\frac{1}{\sqrt{n}}$をシグマの中に入れます。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k/n}}{n} = \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx$

定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} dx = \int_{0}^{1} x^{1/2} dx = [\frac{2}{3}x^{3/2}]_{0}^{1} = \frac{2}{3}(1^{3/2} - 0^{3/2}) = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$