与えられた方程式と不等式を解く問題です。 (1) $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$1 + \cos x - \sin x - \tan x = 0$ (2) $0 \le x < 2\pi$ のとき、$\sin^2 x - \sin x + \sqrt{3} \sin x \cos x \ge 0$

1. 問題の内容

与えられた方程式と不等式を解く問題です。

(1) $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$1 + \cos x - \sin x - \tan x = 0$

(2) $0 \le x < 2\pi$ のとき、$\sin^2 x - \sin x + \sqrt{3} \sin x \cos x \ge 0$

2. 解き方の手順

(1)

$1 + \cos x - \sin x - \tan x = 0$

$1 + \cos x - \sin x - \frac{\sin x}{\cos x} = 0$

$\cos x + \cos^2 x - \sin x \cos x - \sin x = 0$

$\cos x (1 + \cos x) - \sin x (1 + \cos x) = 0$

$(\cos x - \sin x) (1 + \cos x) = 0$

$0 \le x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$1 + \cos x > 0$ なので、$\cos x - \sin x = 0$ となる。

$\cos x = \sin x$

$\tan x = 1$

$x = \frac{\pi}{4}$

(2)

$\sin^2 x - \sin x + \sqrt{3} \sin x \cos x \ge 0$

$\sin x (\sin x - 1 + \sqrt{3} \cos x) \ge 0$

$\sin x = 0$のとき、$x = 0, \pi$

$\sin x - 1 + \sqrt{3} \cos x = 0$のとき、$x$について解くのは困難。

$\sin x (\sin x - 1 + \sqrt{3} \cos x) \ge 0$を検討する。

$\sin x \ge 0$のとき、$0 \le x \le \pi$

$\sin x - 1 + \sqrt{3} \cos x \ge 0$

$\sin x + \sqrt{3} \cos x \ge 1$

$2 (\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x) \ge 1$

$2 (\cos \frac{\pi}{3} \sin x + \sin \frac{\pi}{3} \cos x) \ge 1$

$2 \sin (x + \frac{\pi}{3}) \ge 1$

$\sin (x + \frac{\pi}{3}) \ge \frac{1}{2}$

$\frac{\pi}{6} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{5\pi}{6}$

$-\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{2}$

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ (ただし、$\sin x \ge 0$)

$\sin x \le 0$のとき、$\pi \le x < 2\pi$

$\sin x - 1 + \sqrt{3} \cos x \le 0$

$\sin x + \sqrt{3} \cos x \le 1$

$2 \sin (x + \frac{\pi}{3}) \le 1$

$\sin (x + \frac{\pi}{3}) \le \frac{1}{2}$

$-\frac{7\pi}{6} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{6}$または$\frac{5\pi}{6} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{13\pi}{6}$

$-\frac{3\pi}{2} \le x \le -\frac{\pi}{2}$または$\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{11\pi}{6}$

$\pi \le x \le \frac{11\pi}{6}$ (ただし、$\sin x \le 0$)

よって、$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$または$x = \pi$または$\pi \le x \le \frac{11\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{\pi}{4}$

(2) $0 \le x \le \frac{\pi}{2}, x = \pi, \pi \le x \le \frac{11\pi}{6}$

言い換えると、$0 \le x \le \frac{\pi}{2}, x = \pi, \pi \le x \le \frac{11}{6}\pi$

最終的な答えは、$0 \le x \le \frac{\pi}{2}, x = \pi, \pi \le x \le \frac{11\pi}{6}$

または

$x = 0, x = \pi/4, x = \pi/2, x = \pi, \pi \le x \le \frac{11\pi}{6}$

$\pi \le x \le \frac{11\pi}{6}$は$\pi \le x \le 2\pi$で置き換え可能です