以下の極限値を区分求積法の原理を用いて求めます。 $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + \frac{3^2}{n^3} + \cdots + \frac{n^2}{n^3} \right)$

はい、承知いたしました。問題５と問題６をそれぞれ解きます。

**問題５**

1. 問題の内容

以下の極限値を区分求積法の原理を用いて求めます。

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + \frac{3^2}{n^3} + \cdots + \frac{n^2}{n^3} \right)$

2. 解き方の手順

この極限は、区分求積法を用いて定積分で表すことができます。まず、与えられた和を$\Sigma$記号を用いて表します。

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + \frac{3^2}{n^3} + \cdots + \frac{n^2}{n^3} \right) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{n^3}$

次に、$\frac{1}{n}$をくくりだします。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^2$

ここで、$x_k = \frac{k}{n}$とおくと、$\Delta x = \frac{1}{n}$と考えることができます。したがって、この極限は以下の定積分で表されます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^2 = \int_0^1 x^2 dx$

定積分を計算します。

$\int_0^1 x^2 dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^1 = \frac{1}{3}(1^3 - 0^3) = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$

**問題６**

1. 問題の内容

以下の極限値を区分求積法の原理を用いて求めます。

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{\sqrt{1}}{n\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{2}}{n\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{3}}{n\sqrt{n}} + \cdots + \frac{\sqrt{n}}{n\sqrt{n}} \right)$

2. 解き方の手順

この極限も、区分求積法を用いて定積分で表すことができます。まず、与えられた和を$\Sigma$記号を用いて表します。

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{\sqrt{1}}{n\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{2}}{n\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{3}}{n\sqrt{n}} + \cdots + \frac{\sqrt{n}}{n\sqrt{n}} \right) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}}$

次に、$\frac{1}{n}$をくくりだします。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{\frac{k}{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{\frac{k}{n}} \frac{1}{\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}}= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{k/n}}{n}$

ここで、$x_k = \frac{k}{n}$とおくと、$\Delta x = \frac{1}{n}$と考えることができます。したがって、この極限は以下の定積分で表されます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{\frac{k}{n}} = \int_0^1 \sqrt{x} dx$

定積分を計算します。

$\int_0^1 \sqrt{x} dx = \int_0^1 x^{\frac{1}{2}} dx = \left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_0^1 = \frac{2}{3}(1^{\frac{3}{2}} - 0^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$